Auf einem Tisch stehen N Kisten. In diese Kisten werden nacheinander unabhängig voneinander n Bälle geworfen, wobei jede Kiste mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kiste i leer ist. Sei Yi die Zufallsvariable, die den Wert 1 annimmt, falls Kiste i leer ist, und 0 sonst. Geben Sie auch den Erwartungswert E[Yi] an.
b)Sei X die Zufallsvariable, welche die Anzahl von leeren Kisten angibt. Berechnen Sie den Erwartungswert von X mit Hilfe der Erwartungswerte E[Yi].
c)Geben Sie eine möglichst gute Schranke f(N) an, so dass gilt: wenn n ≥ f(N),
dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kiste mindestens zwei
Bälle enthält, größer als 1/2.
Hinweis: Stellen Sie sich vor, die n Bälle werden nacheinander in die Kisten
geworfen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Ball in einer leeren
Kiste landet, wenn alle vorherigen Bälle in einer leeren Kiste gelandet sind?
Verwenden Sie die ungemein nützliche Abschätzung 1 +x ≤ e^x, welche für alle
x ∈ R gilt.
stehe bei den Aufgaben komplett auf dem Schlauch.
Danke im Voraus!
