Wie die Definitheit einer unsymmetrischen Matrix bestimmen?

Question

Aufgabe: Bestimmung der Definitheit der Matrix

-3	-2	1
2	-3	2
1	2	-10

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie ich fortfahren soll. Die Matrix ist nicht symmetrisch und bei der Berechnung der Eigenwerte erhalte ich folgendes Polynom: -λ³-16λ²-60λ-115

|A-λE_3| = 

det

-3-λ	-2	1
2	-3-λ	2
1	2	-10-λ

 = (-3-λ)^2 * (-10-λ) -4 + 4 - (-3-λ) - 4(-3-λ)

Kann mir hier jemand helfen. Wie soll ich von diesem Polynom die Nullstellen finden (händisch). Oder gibt es einen anderen Weg die Definitheit zu bestimmen?

Answer 1

Betrachte die symmetrische Matrix \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)\).
Deren charakteristisches Polynom ist
\(\quad p(\lambda)=-\lambda^3-16\lambda^2-64\lambda-75\)
und hat offenbar drei negative Nullstellen.
Siehe dazu auch https://mathepedia.de/Definitheit.html.

Comments

Kann man auch die Hauptminoren bestimmen. Mit \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)\) erhalte ich:

-4,5	0	1
0	-4,5	2
1	2	0

|H_1| = -4,5
|H_2| = 20,25
|H_3| = 22,5

Die Matrix ist somit indefinit oder ist das falsch? Kann bei der Vorzeichenfolge ++- oder -++ überhaupt eine Aussage über die Definitheit gemacht werden?

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Diese Methode funktioniert auch.
Nach meinen Berechnungen ist allerdings \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)=\small\begin{pmatrix}-3&0&1\\0&-3&2\\1&2&-10\end{pmatrix}\).
Wenn die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, beginnend mit Minus, dann ist die Matrix \(\tilde A\) und damit auch \(A\) negativ definit. Das ist hier der Fall.

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Hab den Fehler gefunden. Vielen Dank.