Wahrscheinlichkeit berechnen P(X>962)

Question

Was muss ich hier machen? Kann mir bitte jemand den Lösungsweg und die Antwort zeigen?:)

Die Zufallsvariable X hat eine stückweise konstante Dichtefunktion f.

Diese ist gegeben durch die folgende Tabelle, welche die Wahrscheinlichkeiten für jene Intervalle enthält, in denen f konstant ist.

I	\(P(X ∈ I)\)
(-∞,812)	0
[812, 912)	0.35
[912, 1012	0.1
[1012, 1112)	0.55
[1112, ∞)	0

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 962)\).

Answer 1

Aloha :)

Da die Dichtefunktion offensichtlich noch nicht auf \(1\) normiert ist, müssen wir zunächst die Fläche \(F\) unter der Dichtefunktion berechnen:

$$F=0,35\cdot(912-812)+0,1\cdot(1012-912)+0,55\cdot(1112-1012)$$$$\phantom{F}=35+10+55=100$$Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun:

$$P(X>962)=\frac{1}{F}\int\limits_{962}^\infty f(x)dx=\frac{1}{100}\left(\,\,\int\limits_{962}^{1012}0,1\,dx+\int\limits_{1012}^{1112}0,55\,dx\right)$$$$\phantom{P(X>962)}=\frac{1}{100}\left(\left[0,1x\right]_{962}^{1012}+\left[0,55\right]_{1012}^{1112}\right)$$$$\phantom{P(X>962)}=\frac{1}{100}\left(0,1\cdot(1012-962)+0,55\cdot(1112-1012)\right)$$$$\phantom{P(X>962)}=\frac{1}{100}\left(5+55\right)=\frac{60}{100}=0,6$$