UVR: Austauschbarkeit von Basiselementen

Question

 bitte helft mir.

Ich hab solche Aufgabe:

Austauschbarkeit von Basiselementen: Seien v1=(1.3.-2.2), v2=(-3.2.-1.1), v3=(1.3.-2.3); V:=<v1,v2,v3> Teilmenge von R hoch 4
(a) Ist es moeglich, einen der Vektoren v1, v2, v3 durch v=(-5.-4.3.-5) auszutauschen? Wenn ja, welchen? Warum?
(b) Ist es moeglich, einen der Vektoren v1, v2, v3 durch w=(-1.2.-3.4) auszutauschen? Wenn ja, welchen? Warum?
(c) Finden Sie einen Vektor v4 element von R hoch 4, der v1,v2,v3 zu einer Basis des R hoch 4 ergaenzt.  

Frage #2:
Seien U:=<(2.5.9),(0.-1.-1)> und W:=<(-3.1.6),(5.3.0)     Unterraeume des R hoch 3. Bestimmen Sie des Unterraums U ∩ W. Wie kann ich Diese Aufgabe loesen??

Es wäre super, wenn Sie mir einen Weg zeigen, wie solche Aufgabe gelöst werden sollen.

Answer 1

Hier mal ein Anfang der Antwort:

Ein Unterraum besteht genauso wie Vektorraum aus allen Vektoren, die sich als Linearkombination aus den Basisvektoren schreiben lassen. Linear kombinieren heisst anschaulich beliebig verlängern oder stauchen, auch um 180° drehen und addieren oder subtrahieren. Der Nullvektor und somit der Koordinatenursprung gehört immer zu einem Vektorraum.

 

Basen von Vektorräumen und Unterräumen bestehen aus linear unabhängigen Vektoren.

Wenn du in (a) resp. (b) das Gleichungssystem x*(v1) + y*(v2) + z*(v3) = v resp. w nach x,y,z auflösen kannst (4 Komponentengleichungen; 3 Unbekannte !),  kann v resp. w auch Basisvektor sein. Weglassen kann man einen der gegebenen, der sich als Linearkombination der neuen Basis schreiben lässt.

Wenn nach dem Auflösen von 3 Gleichungen schon x,y,z eindeutig bestimmt sind und in der 4. Gleichung nicht passen, gehört v resp. w nicht zum Unterraum. v resp. w ergänzt v1, v2, v3 zu einer Basis des R⁴.

zu Nr. 2 lautet die Aufgabe wohl:

Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U ∩ W.

Im R³ sind 1- und 2-dimensionale echte Unterräume denkbar (Geraden oder Ebenen). In R⁴ kanns auch 3-dimensionale echte Unterräume geben.

Im angegebenen Beispiel sind beide gegebenen Unterräume 2-dimensional. Also Ebenen, die durch den Koordinatenursprung O(0/0/0) gehen. Es ist zu erwarten, dass als Schnittmenge eine Gerade durch O(0/0/0) rauskommt: Die Schnittgerade der beiden Ebenen.

x*v1 + y*v2 = u*w1 + v*w2 = b besteht aus 3 Komponentengleichungen mit 4 Unbekannten. Zu erwarten sind unendlich viele Lösungen.

Vorgehen: Einen der Parameter x, y, u, v vorgeben und dazu passend y,u,v berechnen. Die Parameter links oder rechts einsetzen ergibt die Komponenten des gesuchten Basisvektors b.

Zusatz: Determinante:

Wenn n Vektoren die Basis eines Rⁿ bilden, ist die Determinante einer Matrix entspechenden Matrix nicht 0.