lineare Unabhängigkeit von Vektoren im UVR?

Question

Aufgabe:

Über die lineare Abbildung \( f: \mathbb{C}^{10} \rightarrow \mathbb{C}^{12} \) und den Untervektorraum \( U \subseteq \mathbb{C}^{10} \) ist nur bekannt, dass \( \operatorname{dim} \operatorname{Kern}(f)=3 \) und \( \operatorname{dim}(U+\operatorname{Kern}(f))=6 \) ist. Zeigen Sie, dass es Vektoren \( u_{1}, u_{2}, u_{3} \in U \) gibt derart, dass die Vektoren \( f\left(u_{1}\right), f\left(u_{2}\right), f\left(u_{3}\right) \in \) \( \mathbb{C}^{12} \) linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Die Dimensionsformel für UVR ist: dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(UnW)

Da dimKern= 3 ist  U∩Kernf ein UVR von U mit mindestens Dimension 3. also gibt es mind 3 linear unabhängige Vektoren in U, die auch im Kern liegen.

Ist die Begündung korrekt? Und was muss ich als Nächstes machen?

Danke :)

Answer 1

Wegen der Unabhängigkeit folgt aus \( \lambda_1u_1 + \lambda_2u_2+ \lambda_3 u_3 =0 \), dass \( \lambda_i =0 \) für alle \( i \).

Nutze nun die Linearität von \( f \) sowie die Tatsache, dass die Linearkombination im Kern liegt, um die Unabhängigkeit der Bilder zu zeigen.