lineare Unabhängigkeit von Untervektorräumen und Quotientenräumen

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum, U ein Untervektorraum von V und
F = (w1, . . . , wk) ein Tupel von Elementen von V . F induziert den Untervektorraum
W := spanK(F) von V und das Tupel G := (w1 + U, . . . , wk + U) von Elementen von
V/U. Beweisen Sie die folgenden Implikationen.
(a) Ist F linear unabhängig und gilt U ∩ W = {~0}, so ist auch G linear unabhängig.
(b) Ist U + W = V , so ist G ein Erzeugendensystem von V/U.

Problem/Ansatz:

a)Beweis: sei F linear unahhängig und U ∩ W = {~0}

(a1,...,ak) element von K

Hier wende ich die Definition für die Addition für Quotientenräume an

a1*(w1+U)+...+ak*(wk+U)

= (a1*w1+U)+...+(ak*wk+U)

= (a1*w1+...+ak*wk)+U

Also ab hier macht die Aufgabe für mich keinen Sinn mehr, denn wäre (a1*w1+...+ak*wk)+U linear unabhängig, bzw. a1=....=ak=0, dann wäre (a1*w1+...+ak*wk)=0 und (a1*w1+...+ak*wk)+U = 0+ U= U und nicht =0. Ich habe irgenwie einen Denkfehler hierbei... Kann mir bitte jemand weiterhelfen ?

Answer 1

U ist doch die 0 im Quotientenraum V/U.

Comments

Wieso ist U die 0 ?

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\(U=0+U=[0]. \quad \quad \)

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Die Elemente in V/U sind alle von der Form

[v] =  v+U mit v∈V.

Es ist U = 0+U = [0]

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Erstmal danke für eure Hilfe. Ich habe bei der Lösung von b grade noch mal ein Verständnis Problem bzgl. der Quotientenräume:

Also Beweis: sei U+W=V

sei [v] e V/U mit [v]=v+U, v e V

zz.: [v] = a1*(w1+U)+...+ak*(wk+U)

=(a1*w1+...+ak*wk)+U

=w+U mit w e W und nicht v+U = [v]

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

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Ich nehme mal an, dass du zeigen willst:

Ist U + W = V , so ist G ein Erzeugendensystem von V/U.

Sei also (wie du ja richtig beginnst.)

sei [v] ∈ V/U also  [v]=v+U und v ∈ V.

Wegen U + W = V gibt es u∈U und w∈W mit v=u+w.

Da W = span_K(F) gibt es (a1,...,ak) aus K mit

w=a1w1+ . . .+akwk

Wegen # folgt v=u+w=u+a1w1+ . . .+akwk

==>    v-u = a1w1+ . . .+akwk

Da U den 0-Vektor enthält gilt für alle i ∈ {1,...,k}

                     w_i∈w_i+U

==>  v-u ∈ a1(w1 + U) +...ak(wk + U)

Und wegen v-u∈u+V folgt also

        u+V =a1(w1 + U) +...ak(wk + U).