Basis der Schnittmenge zweier Untervektorräume

Question

Aufgabe:Gegeben zwei Untervektorräume, bestimme die Basis der Schnittmenge U1 und U2

Problem/Ansatz:

U1 = span[(1,2,3),(1,2,3),(1,2,4)]

U2 = span[(1,2,4),(1,5,7),(1,23,4)]

Wir sollen die basis der Schnittmenge davon bestimmen, meine frage wäre

wie das genau funktioniert?

nur die methodik?

Comments

Heißt es tatsächlich (1,23,4) ?

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ne habe ich aus kopf überlegt, es geht nur um die methodik dahnter, die aufgabe ist aus dem buch und schwerer

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https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

kapitel 2 lineare algebra exerices 2.12

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https://www.massmatics.de/merkzettel/#!356:Schnitt_und_Summe_von_UVR

mein Ansatz wäre wie hier, wir haben hier einen Span drei vektoren gegeben, die ein Erzeugendsystem bilden, sowie es aussieht sind die l.u und ich kann die methoden verwnden die im link stehen oder?

Answer 1

Evtl. Gleichsetzen

r·[1, 1, -3, 1] + s·[2, -1, 0, -1] + t·[-1, 1, -1, 1] = u·[-1, -2, 2, 1] + v·[2, -2, 0, 0] + w·[-3, 6, -2, -1]

Man bekommt dann eine Schnittebene im R4

--> a·[4, -1, -2, -1] + b·[-8, 2, 4, 2]

Comments

wie bist du voran gegangen genau ? ist das dann die basis ?

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ist das dann die basis ?

Ja das ist dann die Basis.

Löse das angegebene Gleichungssystem. 4 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Du erhältst 4 Lösungen in Abhängigkeit von 2 Variablen.

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wäre das auch mit dem Zassenhaus-Algorithmus gegangen ?

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Laut Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Zassenhaus-Algorithmus

ist dieser Algorithmus geeignet. Also könntest du ihn mal anwenden und schauen ob du auf etwas ähnliches kommst.

Du solltest ja 2 Vektoren bekommen die jeweils zu meinen beiden linear abhängig sind.

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Danke ich Versuch es gleich mal, die Voraussetzungen müssten alle erfüllt sein oder für den Algorithmus?

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Ich habe es gerade mal mit dem Algortmus probiert. Den kannte ich vorher nicht. Damit komme ich auf

[4, -1, -2, -1]

Und wenn ich mal meine Lösung von oben nehme

--> a·[4, -1, -2, -1] + b·[-8, 2, 4, 2]

Dann sehe ich das dort meine Vektoren ja linear abhängig waren und man also auch zusammenfassen könnte zu

a·[4, -1, -2, -1]

und damit sind die Lösungen dann gleich.

Also hat man nur eine Schnittgerade. Das liegt aber auch das z.B. im Unterraum U1 schon die Vektoren linear abhängig waren.

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Danke Aufjedendall, stimmt ja die Basen sind ja die minimale linear unabhängige Vektoren, die den Uraum bildet