Aloha :)
Hier hast du 3 Bedingungen zu efüllen.
Bedingung 1:
Wir arbeiten uns von innen nach außen vor:$$\frac{x^2-3x-10}{2x-4}=\frac{(x-5)(x+2)}{2(x-2)}$$Hier dürfen wir nicht durch Null dividieren. Es gilt daher \(\boxed{x\ne2}\).
Bedingung 2:
Jetzt widmen wir uns der \(\arcsin\)-Funktion. Diese muss, weil sie unter einer Wurzel steht \(\ge0\) sein. Wenn wir uns den Verlauf der \(\arcsin\)-Funktion ins Gedächtnis rufen
~plot~ asin(x) ; [[-1,5|1,5|-2|2]] ~plot~
fällt auf, dass sie \(\ge0\) ist, wenn auch ihr Argumen \(\ge 0\) ist. Wir müssen also sicherstellen, dass Zähler und Nenner von dem obigen Bruch dasselbe Vorzeichen haben.
1. Fall: Zähler und Nenner sind beide \(\ge0\):$$(x-2)\ge0\implies x>2\quad\text{(der Fall \(x=2\) wurde oben ausgeschlossen)}$$Da \(x>2\) sein muss, ist \((x+2)>4>0\). Der Zähler kann daher nur \(\ge0\) sein, wenn der Faktor \((x-5)\ge0\) ist, wenn also \(x\ge5\) ist.
2. Fall: Zähler und Nenner sind beide \(\le0\):$$(x-2)\le0\implies x<2\quad\text{(der Fall \(x=2\) wurde oben ausgeschlossen)}$$Da \(x<2\) sein muss, ist \((x-5)<-3<0\). Der Zähler kann daher nur \(<0\) sein, wenn der Faktor \((x+2)\ge0\) ist, wenn also \(x\ge-2\) ist.
Damit der Bruch \(\ge0\) ist, muss also gelten:$$\boxed{x\ge5\quad\text{oder}-2\le x<2}$$
Bedingung 3:
Aus der Abbildung der \(\arcsin\)-Funktion erkennst du noch eine weitere Einschränkung an das Argument der \(\arcsin\)-Funktion. Ihr Argument muss aus dem Intervall \([-1|1]\) stammen. Wir müssen also noch sicherstellen, dass der Bruch \(\le 1\) ist. Auch hier brauchen wir wegen des Relationstzeichens eine Fallunterscheidung:
1. Fall: \(x\ge5\), d.h. der Nenner ist positiv.$$\left.\frac{x^2-3x-10}{2x-4}\le1\quad\right|\cdot(2x-4)$$$$\left.x^2-3x-10\le2x-4\quad\right|-2x+4$$$$\left.x^2-5x-6\le0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$\left.(x-6)(x+1)\le0\quad\right.$$Da wir im Fall \(x\ge5\) sind, ist \((x+1)>0\) und wir müssen sicherstellen, dass \((x-6)\le0\) ist, also muss \(x\le6\) sein.
2. Fall: \(-2\le x<2\), d.h. der Nenner ist negativ.$$\left.\frac{x^2-3x-10}{2x-4}\le1\quad\right|\cdot(2x-4)$$$$\left.x^2-3x-10\ge2x-4\quad\right|-2x+4$$$$\left.x^2-5x-6\ge0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$\left.(x-6)(x+1)\ge0\quad\right.$$Da wir im Fall \(x<2\) sind, ist \((x-6)<0\) und wir müssen sicherstellen, dass \((x+1)\le0\) ist, also muss \(x\le-1\) sein.
Fassen wir alles zusammen, haben wir als Definitionsbereich der Funktion \(h(x)\):$$\boxed{-2\le x\le-1\quad\text{oder}\quad 5\le x\le 6}$$
