y = √(ln(arcsin((-2x+3)/5)))) nach x auflösen. Definitionsbereich von f, f(x)= √(ln(arcsin((-2x+3)/5)))?

Question

Wie löst man diese Aufgabe bzw. geht man vor?

Wie geht man bei dieser Aufgabe am besten vor?

Answer 1

Hi,

der Definitionsbereich der ln-Funktion sind alle positiven Zahlen, womit innerhalb der Klammern des ln natürlich auch nur positive Zahlen, d.h. Zahlen echt größer als 0, stehen dürfen. Hierzu musst du dir überlegen, wann denn der Arkussinus positive Werte annimmt. Das kannst du z.B. hier sehen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Definitionen

Zur Umkehrfunktion:

Stell dir vor, du hättest die Gleichung $$y=\sqrt{x+2}$$.
Hier würdest du nun zuerst quadrieren und dann 2 abziehen, d.h. du würdest $$y^2-2=x$$ erhalten. Mit der Notation aus der Aufgabenstellung also $$g(y)=y^2-2$$.
Es gilt außerdem, dass $$y=ln(x) \Leftrightarrow e^y=x$$ und $$y=arcsin(x) \Leftrightarrow sin(y)=x$$

Mit diesem Wissen sollte die Aufgabe für dich lösbar sein. Kannst ja dein Ergebnis schreiben oder noch was fragen, wenn noch was unklar sein sollte.

Comments

Also ist die Umkehrfunktion e^y* arcsin(WERT) ??? (x>0)

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Leider nicht, nein.

Ich mache mal den Anfang:

$$y=\sqrt{ln(arcsin(\frac{-2x+3}{5}))} \\  \Rightarrow y^2=ln(arcsin(\frac{-2x+3}{5})) \\ \Rightarrow e^{y^2}=arcsin(\frac{-2x+3}{5}) $$

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Danke , dass du den Anfang gemacht hast.. Was ja eigentlich nicht selbstverständlich ist.

Ich verstehe, dass du y^2 gemacht hast , um die Wurzel aufzulösen

Hier mein Ansatz sin(arcsin((-2x+3)/5))

Wenn x größer als 0 ist, also der Wert, dann ist es doch positiv..

Weiß aber leider nicht wie ich das x rauskriege ):

A

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Bitte :)

Um Moment musst du dich nicht darum kümmern wann was positives im Arkussinus steht, es geh nur um das Auflösen nach x. Dein Ansatz mit der Anwendung des Sinus ist genau das richtige! Allerdings musst du das auf beiden Seiten der Gleichung machen. Wie sieht deine Gleichung aus, wenn du auf beiden Seiten den Sinus anwendest?

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sinus(e^y^2) = sinus(arcsin(-2x+3)/5)

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Richtig, nur schreibt man lediglich "sin" statt "sinus".

Du hast nun also $$sin(e^{y^2})=\frac{-2+3x}{5} $$da sich Sinus und Arkussinus ja gegenseitig aufheben.Wie geht es nun weiter? Du willst ja das x rechts alleine stehen haben.

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5 sin(e^y^2) = -2+3x |+2

5sin(e^y^2)+2= 3x | :3

x= 5sin(e^y^2+2)/3

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Richtig, sehr gut!:)
Das ist deine gesuchte Funktion g(y).

Nun gibt es die Frage nach dem Definitionsbereich welche sich schnell beantworten lässt. Der Sinus ist auf allen reellen Zahlen definiert. Also darf das was in Klammern steht einen beliebigen Wert annehmen. Gibt es denn für die e-Funktion irgendwelche Einschränkungen bzgl. des Definitionsbereichs?

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Ich weiß nur , dass e^0 1 ist

exp(0)=1

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Das ist korrekt, aber das meinte ich nicht :)

Die Frage war, ob die e-Funktion an irgendeiner Stelle nicht definiert ist. D.h. hat die e-Funktion an irgendeiner Stelle keinen Wert oder darf ich alles für x einsetzen bei e^x?

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e^2x ist nicht definiert, denke ich.

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Schau dir mal hier den Graph der e-Funktion an:

~plot~ e^x ~plot~

Die Fragen ist nun, ob du der Funktion an einer beliebigen Stelle keinen Wert zuweisen kannst.

Die Antwort ist "ja"!e^x existiert für alle x aus den reellen Zahlen.Das solltest du dir merken :)Anders schaut es bei dem natürlichen Logaritmus aus: ln(x) ist nur für x>0 definiert.

Ein allgemeiner Hinweis:

Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich der Funktion selbst und der Wertebereich der Umkehrfunktion ist die Definitionsbereich der Funktion selbst.

Verstehst du diesen Satz?

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Leider verstehe ich den Satz nicht so ..

Aber heißt das, dass e^x kein Definitionsbereich hat??

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Der Wertebereich des natürlichen Logarithmus (was die Umkehrfunktion der e-Funktion ist) hat als Wertebereich ganz R (reelle Zahlen). Somit hat die e-Funktion diesen als Definitionsbereich.

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Wie kommt man damit dann zur Lösung? :)

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Das ist die Lösung, es war ja nach dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion gefragt. Du bist fertig :)

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Wie würde man den in Kursform aufschreiben?

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$$ D_g = \mathbb{R}$$

Answer 2

Hallo user 18697

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f und lösen sie die Gleichung y = f(x) nach x auf.
Wir sind in der Menge der reellen Zahlen - Okay.

1) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f.
2) Lösen sie die Gleichung y = f(x) nach x auf.

1)
Hier geht es um die Verkettung von drei Funktionen(Wurzelfunktion, natürlicher Logarithmus, Arcussinus).
Um die Frage beantworten zu können, müssen wissen: Welche Typen von Zahlen dürfen wir jeweils in diese Funktionen "hineintun" (Definitionsbereiche) und welche Typen von Zahlen kommen dann dabei heraus(Wertebereiche)?

Ganz oben in der Nahrungskette steht die Wurzelfunktion. Sie bekommt das, was vom natürlichen Logarithmus übrig bleibt, nachdem dieser vom Arcussinus gefüttert wurde. Die Wurzelfunktion ist positiv eingestellt und nörgelt nicht, wenn sie mal nichts bekommt: Zahlen x ≥ 0(Definitionsbereich).
Wenn sie nichts bekommt, gibt sie auch nichts zurück und wenn sie positives bekommt gibt sie positives zurück(Wertebereich y >= 0).
Der natürliche Logarithmus hat durchaus auch Negatives zu bieten(y<0), wenn er Zahlen x < 1 bekommt, was die Wurzelfunktion gar nicht verträgt. Aber wenn wir dem natürlichen Logarithmus nur Zahlen x ≥ 1 geben, dann ist die Wurzelfunktion zufrieden. Jetzt sind wir gefragt zu entscheiden, was wir dem Arcussinus auftischen, damit er dem natürlichen Logarithmus Zahlen ≥ 1 serviert.
Bekommt Arcussinus x=sin(1), gibt er y=arcsin(sin(1)) = 1. Das passt als kleinster Wert in die Nahrungskette unserer drei Funktionen. Es gilt sin(1) < 1 wir dürfen Arcussinus aber mit Zahlen bis x=1 füttern(siehe Definitionsbereich der arcsin-Funktion). Zahlen zwischen x=sin(1) und x=1 dürfen wir
also Arcussinus auftischen, damit von ihm der natürliche Logarithmus Zahlen >=1 bekommt, die dann die Wurzelfunktion verarbeiten kann. Es folgt sin(1) <= x <= 1.
In der Aufgabe bekommt Arcussinus den Term (-2x + 3) / 5 und dieser darf demnach sin(1) <= (-2x + 3) / 5  <= 1 sein, woraus ein -1 <= x <= 1,5 - 2,5*sin(1) folgt. Das entspricht einem Definitionsbereich von rund -1 <= x <=  -0,60367.

2)
y = √(ln(arcsin((-2x + 3) / 5 ))
y^2 = ln(arcsin((-2x + 3) / 5 ))
e^{y^2} = arcsin((-2x + 3) / 5 )
sin(e^{y^2}) = (-2x + 3) / 5
(5 sin(e^{y^2}) - 3) / (-2) = x
x = 1,5 - 2,5 sin(e^{y^2})

Was dürfen wir g(y) alles auftischen?

Grüße