Differentialrechnung Umkehrfunktion y = arcsin (√(x^2 -1)) nach x ableiten

Question

Aufgabe:

Differentialrechnung Umkehrfunktion y = arcsin (√(x^2 -1)) nach x ableiten

$$y = \operatorname { arcsin } ( \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } )$$

Answer 1

Lösung:

\( y=\arcsin (\sqrt{x^{2}-1}) \)
\( \sin (y)=\sin \arcsin (\sqrt{x^{2}-1}) \)
\( \sin (y)=\sqrt{x^{2}-1} \quad |()^{2} \)
\( \sin ^{2}(y)=x^{2}-1 \quad |+1 \)
\( \sin ^{2}(y)+1=x^{2} \)
$$ \begin{array}{l} {x=\pm \sqrt{\sin ^{2}(y)+1}} \\ {y=\pm \sqrt{\sin ^{2}(x |+1)}} \end{array} $$

Comments

Danke dir auf das selbe Ergebnis komme ich auch. wenn man nach x ableitet aber mein Prof kommt irgendwie auf das Ergebnis

$$y ^ { \prime } = \frac { x } { \sqrt { ( 2 - x ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 1 ) } }$$

könntest du mir eventuell sagen wieso

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habs mal schnell gerechnet:

Answer 2

y = acrsin ( √ ( x^2 - 1 ) )
Umkehrfunktion
x = acrsin ( √ ( y^2 - 1 ) )  | sin ( )

sin ( x ) =  √ ( y^2 - 1 )
[ sin ( x) ]^2 = y^2 - 1
y^2 = [ sin ( x) ]^2  + 1
y = ± √  ( [ sin ( x) ]^2  + 1 )

Dies ist die formelle Umstellung.
Bliebe noch Def- und Wertebereich zu klären
bzw. ob die Umkehrfunktion eine Funktion ist.