Ich gehe von der Funktion arcsin(x) aus. Ist im Grunde egal, ob x oder y. x ist mir geläufiger.
Für die Ableitung von Umkehrfunktionen kann man die Kettenregel verwenden
(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
Sei g die Umkehrfunktion der Funktion f, dann gilt: f(g(x)) = x .
f'(g(x))*g'(x) = (f(g(x)))' = (x)' = 1
-> g'(x) = 1/f'(g(x))
f(x) = sin(x) -> f'(x) = cos(x)
g(x) = arcsin(x) -> (arcsin(x))' = 1/cos(arcsin(x))
Mit sin2(x) + cos2(x) = 1 folgt 1/cos(arcsin(x))= 1/√(1-sin²(arcsin(x))) = 1/√(1-x²)
