Irrationale Folge, die gegen 0 konvergiert

Question

Aufgabe:

Geben Sie ein Beispiel einer Zahlenfolge an, die gegen Null konvergiert aber nur irrationale Folgenglieder besitzt.

Problem/Ansatz:

Wäre die folge an := \( \frac{1}{e^n} \) eine solche Folge? e wäre eine irrationale Zahl, doch wie verhält es sich mit dem Bruch? Vielen Dank.

Comments

Hallo,

eine Möglichkeit wäre:

\(a_n=\dfrac{\pi}{10^n}\)

:-)

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Vielen Dank :-).

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Du musst hier etwas genauer hinsehen bzw. müsstest umfangreicher argumentieren. Ja e ist irrational. Die Brüche sind allerdings nur irrational, wenn auch alle Potenzen \( e^2, e^3,... \) irrational sind. Das ist bei \( e \) zwar der Fall, das liegt aber nicht nur an der Irrationalität von e. Mit \( \sqrt 2 \) funktioniert das immerhin z.B. nicht!

Das Beispiel von Monty ist da etwas einfacher, da sieht man den Glieder die Irrationalität direkt an. (Wenn \( a_n \) rational wäre, dann auch \( 10^n a_n = π \). Widerspruch.)

Answer 1

Wäre \(a_n \text{ := } \dfrac{1}{e^n} \) eine solche Folge?

Wähle n=0 und entscheide selbst.

Comments

Danke, die Antwort lautet dann wohl nein. :-)

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Genau. Wähle stattdessen \(a_n \text{ := } \dfrac{1}{e^{n+1}}. \)

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Was auch möglich wäre: 1/2e^n, oder?

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Nein, denn für n=0 hätten wir die rationale Zahl 1/2.