Gruppenaxiome zeigen für Beispiel

Question

Aufgabe:

Moinsen, bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Erstens, stimmt das neutrale Element und wenn ja, was ist das Inverse? Assoziativität habe ich leider auch keine Ahnung. Liebe Grüße

Ps: Summe läuft über alle Teiler d von n

Answer 1

Es kann nützlich sein, die Definition der Faltung "\(*\)" so zu schreiben:

\((f*g)(n)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)\), wobei die Summe über alle Paare \(a,b\in N_{>0}\)

läuft, für die \(ab=n\) ist. Insbesondere wird die Assoziativität besonders

klar erscheinen. Das neutrale Element hast du ja bereits gefunden.

Wir nennen es vielleicht \(e\) und es hat nach deinem Vorschlag die

Definition \(e(1)=1,\; e(x)=0\) für \(x\neq 1\).

Comments

Für mich stellt sich nun das Problem bei der assoziativität: f*(g*h) (n) = f * ( Summe über ab=n mit f(a) g(b)) =

Dort gestaltet sich mein Problem, ich müsste ja entsprechend erneut die Summe bilden und für g dann entsprechend die eben genannte Summe einsetzen, diese muss allerdings ja ausgewertet werden an der Stelle b, wie soll das dann funktionieren?

Genauso wenig erschließt sich mein inverses . Wie kann ich mit so einer Verknüpfung überhaupt erreichen, dass am Ende mein neutrales Element heraus kommt, welches eine Funktion von e(1) =1  und e(x) =0 sonst isf?

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Ich habe den Eindruck, dass es sich nur um bestimmte Abbildungen handeln

soll. Ist das wirklich die Definition, dass man die Menge aller

Abbildungen von den positiven nat. Zahlen in die reellen Zahlen

betrachtet? Es müsste doch \(f(1)\neq 0\) gelten, da sonst kein

Inverses existiert.

Übrigens zu Assoziativität:

\(((f*g)*h)(n)=\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)\).

Zum Inversen von \(f\). Betrachte

\(g(1)=f(1)^{-1},\; g(x)=0\) für \(x\neq 1\).

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Zur assoziativität: ok wusste nicht dass man dann so die Definition anwendet... Habe eigentlich gedacht, so wie ich das mache wäre das korrekt. So ist natürlich klar, dass die assoziativität gilt.

Ah ok alles klar danke

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Habe nicht daran gezweifelt, dass du das korrekt gemacht hast,

wollte dir nur eine "symmetrischere" Alternative vorschlagen.

Habe meinen letzen Kommentar noch erweitert bzgl. Inversem.