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Um das das Linienintegral entlang eines bestimmten Weges zu bestimmen, musst du diesen Weg durch einen einzelnen Parameter ausdrücken. Bei dem hier vorgegebenem Weg liegt die \(y\)-Koordinate in Abhängigkeit von \(x\) vor, nämlich \(y(x)=\frac14(x-2)^2\), sodass sich folgende Parametrisierung aufdrängt$$\vec r(x)=\binom{x}{y(x)}=\binom{x}{\frac14(x-2)^2}\quad;\quad x\in[0;2]$$Da wir auf diesem Weg durch das Vektorfeld \(\vec F\) schreiten, können wir darin die \(y\)-Koordinate durch diejenige des Weges ersetzen:$$\vec F(x;y)=\binom{y}{x^2}=\binom{\frac14(x-2)^2}{x^2}=\vec F(\vec r(x))$$Nun können wir das Wegintegral wie folgt umformen:
$$I=\int\limits_{(0;1)}^{(2;0)}\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_0^2\vec F(\vec r(x))\cdot\frac{d\vec r(x)}{dx}\,dx=\int\limits_0^2\binom{\frac14(x-2)^2}{x^2}\binom{1}{\frac12(x-2)}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2\left(\frac14(x-2)^2+\frac{1}{2}(x^3-2x^2)\right)dx=\left[\frac{1}{12}(x-2)^3\right]_0^2+\left[\frac12\left(\frac{x^4}{4}-\frac23x^3\right)\right]_0^2$$$$\phantom{I}=\frac{8}{12}+\frac12\left(\frac{16}{4}-\frac{16}{3}\right)=\frac{8}{12}+\frac12\cdot\frac{48-64}{12}=\frac{8}{12}-\frac{8}{12}=0$$
