Aussagen mit Quantoren darstellen

Question

Gegeben sind die folgenden Prädikate:

\( \begin{aligned} \operatorname{Mensch}(x): &,, x \text { ist ein Mensch. } " \\ \text { Entscheidung }(y): &, y \text { ist eine Entscheidung." } \\ \operatorname{zufrieden}(x, y): &, x \text { ist mit } y \text { zufrieden." } \end{aligned} \)
(a) Stellen Sie die folgenden Aussagen mittels der obigen Prädikate unter Verwendung geeigneter Quantoren dar und bilden Sie jeweils die Negation unter Verwendung der in Beispiel 1.10 der Vorlesung angegebenen Tautologien:
(i) „Es gibt eine Entscheidung, mit der alle Menschen zufrieden sind."
(ii), Alle Menschen sind mit jeder Entscheidung zufrieden."

Ich komme leider mit dieser Aufgaben überhaupt nicht zurecht und weiß nicht wo ich ansetzen soll.

Comments

Entscheidung(y): ,n ist eine Entscheidung."

zufrieden(x,y): ,nx ist mit y zufrieden."

Was ist n?

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Tut mir Leid, das n ist mir da reingerutscht. Es soll heißen "y ist eine Entscheidung" und

"x ist mit y zufrieden"

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Mit Bild der Rechnung

Titel: Aussagen mit Quantoren bilden und negieren

Stichworte: negation,aussagen,quantoren,prädikatenlogik

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Prädikate:

\( \begin{aligned} \operatorname{Mensch}(x): & &, x \text { ist ein Mensch." } \\ \text { Entscheidung }(y): & &, y \text { ist eine Entscheidung. } \\ \text { zufrieden }(x, y): & &, x \text { ist mit } y \text { zufrieden. " } \end{aligned} \)
Stellen Sie die folgenden Aussagen mittels der obigen Prädikate unter Verwendung geeigneter Quantoren dar und bilden Sie jeweils die Negation:
(i) „Es gibt eine Entscheidung, mit der alle Menschen zufrieden sind."
(ii) „Alle Menschen sind mit jeder Entscheidung zufrieden."
Begründen Sie, bei welcher der Aussagen (i) und (ii) es sich um eine Negation der Aussage „Jede Entscheidung schafft unzufriedene Menschen." handelt.

Problem/Ansatz:

Ich habe mich an der Aufgabe versucht, aber bin mir mit meinem Ergebnis überhaupt nicht sicher. Könnte es mir vielleicht jemand bestätigen bzw Fehler aufzeigen?

Answer 1

(i) \(\exists x\forall y \left(\operatorname{Entscheidung}(x) \wedge \operatorname{Mensch}(y) \to \operatorname{zufrieden}(y,x)\right)\)

wo ich ansetzen soll.

Definition "Syntax von prädikatenlogischen Formen" und die begleitenden Beispiele noch mal durcharbeiten.

Comments

Hallo,

Wäre die (i) dann nicht ?

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Da fehlt ein Junktor zwischen

        \(\operatorname{Entscheidung}(y)\)

und

        \(\forall x (\operatorname{Mensch}(x)\wedge \operatorname{zufrieden}(x,y))\).

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welchen junktor meinen Sie denn?

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Junktoren sind die Dinger, mit denen man eine Formel aus zwei Formeln zusammenbaut. Gängigste Beispiele dafür sind \(\wedge\), \(\vee\) und \(\to\).

Ich weiß nicht, mit welchem Junktor du die zwei Formeln

        \(\operatorname{Entscheidung}(y)\)

und

        \(\forall x (\operatorname{Mensch}(x)\wedge\operatorname{zufrieden}(x,y))\)

zu einer Formel zusammenbauen wolltest.

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Vielen Dank ich verstehe es jetzt. Könntest du mir vielleicht als Beispiel verdeutlichen wie die Negation von

(i) \( \exists x \forall y \) Entscheidung \( (x) \wedge \operatorname{Mensch}(y) \rightarrow \) zufrieden \( (y, x) \)

aussehen könnte?

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Man packt die Formel in Klammern und schreibt ein \(\neg\) an den Anfang.

Dann wendet man folgende Regeln an.

• \(\neg (\forall x\ \varphi) \) formt man um zu \(\exists x\ \neg \varphi\)
• \(\neg (\exists x\ \varphi) \) formt man um zu \(\forall x\ \neg \varphi\)
• \(\neg (\varphi \wedge \psi) \) formt man um zu \(\neg\varphi\vee\neg\psi\)
• \(\neg (\varphi \vee \psi) \) formt man um zu \(\neg\varphi\wedge\neg\psi\)
• \(\neg (\varphi \to \psi) \) formt man um zu \(\varphi\wedge\neg\psi\)
• \(\neg (\neg \varphi) \) formt man um zu \(\varphi\)
  

Das wiederholt man mit den Teilformeln bis man bei den atomaren Formeln angekommen ist.

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Vielen Dank. Ich habe es jetzt anhand dieser Methoden probiert.

Würde es so Sinn machen?

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\(\begin{aligned} & {\neg\left(\exists x\forall y\left(\operatorname{Entscheidung}(x)\wedge\operatorname{Mensch}(y)\to\operatorname{zufrieden}(y,x)\right)\right)}\\ \equiv\ & \forall x\neg\forall y\left(\operatorname{Entscheidung}(x)\wedge\operatorname{Mensch}(y)\to\operatorname{zufrieden}(y,x)\right)\\ \equiv\ & \forall x\exists y\neg\left(\operatorname{Entscheidung}(x)\wedge\operatorname{Mensch}(y)\to\operatorname{zufrieden}(y,x)\right)\\ \equiv\ & \forall x\exists y\left(\operatorname{Entscheidung}(x)\wedge\operatorname{Mensch}(y)\wedge\neg\operatorname{zufrieden}(y,x)\right) \end{aligned}\)