Das pythagoreische Tripel [3,4,5] hat die Eigenschaft, dass sich die Kathetenlängen um 1 unterscheiden. Wir wollen im Folgenden der Frage nachgehen: „Wie kann man weitere Tripel mit dieser Eigenschaft konstruieren?“ Dazu holen wir zunächst ein wenig aus:
Die Folge der natürlichen Potenzen von √2-1 erzeugt die Folge der positiven der Koeffizienten (hier rot) und die Folge der der negativen Koeffizienten (hier grün):
(√2 – 1)1 = 1√2 – 1
(√2 – 1)2 = 3 – 2·√2
(√2 – 1)3 = 5·√2 – 7
(√2 – 1)4 = 17 – 12·√2
(√2 – 1)5 = 29·√2 – 41
(√2 – 1)6 = 99 – 70·√2
(√2 – 1)7 = 169·√2 – 239
(√2 – 1)8 = 577 – 408·√2
(√2 – 1)9 = 985·√2 – 1393
und so weiter.
In einer Wertetabelle können die rote und die grüne Zahlenfolge so dargestellt werden:
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| rot(j) | 1 | 3 | 5 | 17
| 29
| 99
| 169
| 577
| 985
|
| grün(j) | 1 | 2 | 7 | 12
| 41
| 70
| 239
| 408
| 1393
|
Für gerade Zahlen j=2k ist (rot (2k))/(grün(2k)) eine rationale Näherung an √2 und für ungerade Zahlen j=2k-1 ist (grün (2k-1))/(rot(2k-1)) eine rationale Näherung an √2. Siehe hierzu auch: Rationale Näherung von Quadratwurzeln mit CAS https://www.mathelounge.de/624644/rationale-naherung-von-quadratwurzeln-mit-cas
Aber zurück zu unserer Ausgangsfrage. Spätestens sei Euklid ist bekannt, dass (m2-n2, 2mn, m2+n2) für m>n Єℕ ein pythagoreisches Tripel ist. Hier heißen die natürlichen Zahlen m und n die ‚Erzeugenden‘ der jeweiligen Tripels. Die Erzeugenden von pythagoreischen Tripeln der Form (a, a+1, c) findet man nun in der oben angegebenen Wertetabelle als m=grün(j+1) und n=rot(j) für jЄℕ.
Beispiele:
Sei j=1, dann ist m=grün(2)=2 und n=rot (1)=1. Das Tripel mit den Erzeugenden m=2 und n=1 ist das schon genannte Tripel [3, 4, 5].
Sei j=2, dann ist m=grün(3)=7 und n=rot (2)=3. Das Tripel mit den Erzeugenden m=7 und n=3 ist [40, 42, 58], welches noch zu [20, 21, 29] halbiert werden muss, um zu unseren hier konstruierten Tripeln zu gehören.
Sei j=3. Dann ist m=grün(4)=12 und n=rot (3)=5. Das Tripel mit den Erzeugenden m=12 und n=5 ist [119, 120, 169.
Sei j=4. Das Tripel mit den Erzeugenden m=41 und n=17 ist [1392, 1394, 1970], welches noch zu [696, 697, 985] halbiert werden muss, um zu unseren hier konstruierten Tripeln zu gehören. Man erhält also entweder direkt gewünschte Tripel oder nach Halbieren.
Ergänzt sei noch eine zweite Konstruktionsvorschrift für Tripel der hier gewünschten Form [a, a+1, c]:
Wenn [a, a+1, c] ein bekanntes Tripel ist, so ist auch [3a+2c+1, 3a+2c+2, d] ein gewünschtes Tripel.
Beispiele: Das eingangs genannte Tripel [3, 4, 5] erzeugt [3·3+2·5+1, 3·3+2·5+2, d]=[20, 21, 29]. Und [119 120, 169] erzeugt [3·119+2·169+1, 3·119+2·169+2, d]=[696, 697, 985]. Offenbar werden die gleichen Tripel, wie mit der ersten Konstruktionsvorschrift in der durch jЄIN gegebenen natürlichen Reihenfolge rekursiv erzeugt.
