Brüche subtrahieren mit x: 5/(x^3+h^3) - 5/x^3

Question

Wie kann ich das ausrechnen

( 5 / (x^3+h^3) ) - ( 5 / x^3 )

wie kann man diese brücheausrechen  ( ist 5/h^3) richtig??)

Vielen dank für die hilfe

Answer 1

 ist 5/h³ richtig??

Nein, das ist falsch.

Bedenke: Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn ihre Nenner identisch sind.

Die richtige Lösung ist:

$$\frac { 5 }{ { x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 } } -\frac { 5 }{ { x }^{ 3 } }$$Jeden Bruch mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern:$$=\frac { 5{ x }^{ 3 } }{ { { x }^{ 3 }(x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) } -\frac { 5{ (x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }{ { { x }^{ 3 }(x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }$$Nun sind die Brüche gleichnamig (d.h., die Nenner sind identisch. Die Zähler können daher auf einen gemeinsamen Bruchstrich geschrieben werden:$$=\frac { 5{ x }^{ 3 }-5{ (x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }{ { { x }^{ 3 }(x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }$$Ausmultiplizieren:$$=\frac { 5{ x }^{ 3 }-5{ x }^{ 3 }-5{ h }^{ 3 } }{ { { x }^{ 3 }(x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }$$Vereinfachen:$$=\frac { -5{ h }^{ 3 } }{ { { x }^{ 3 }(x }^{ 3 }+{ h }^{ 3 }) }$$Fertig.

 

EDIT :

Nachdem nun also wohl halbwegs klar ist, was der Fragesteller meint, nämlich, dass er den Differenzialquotienten von

$$f(x)=2{ x }^{ -1 }+5{ x }^{ -3 }=\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ { { x }^{ 3 } } }$$

mit der "h-Methode" berechnen will, hier nun meine Lösung:

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ x+h } +\frac { 5 }{ { \left( x+h \right)  }^{ 3 } } -\left( \frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ { x }^{ 3 } }  \right)  }{ h }  }$$Zählerbrüche umordnen und das h aus dem Nenner in die Nenner der Zählerbrüche multiplizieren:$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2 }{ h(x+h) } -\frac { 2 }{ hx } +\frac { 5 }{ { h\left( x+h \right)  }^{ 3 } } -\frac { 5 }{ { hx }^{ 3 } }  }$$Die ersten beiden Brüche und die letzten beiden Brüche durch geeignetes Erweitern gleichnamig machen:$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2x }{ hx(x+h) } -\frac { 2(x+h) }{ hx(x+h) } +\frac { 5{ x }^{ 3 } }{ { h{ x }^{ 3 }\left( x+h \right)  }^{ 3 } } -\frac { 5{ \left( x+h \right)  }^{ 3 } }{ { h{ x }^{ 3 }\left( x+h \right)  }^{ 3 } }  }$$und jeweils auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben:$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2x-2x-2h }{ hx(x+h) } +\frac { 5{ x }^{ 3 }-5{ \left( x+h \right)  }^{ 3 } }{ { h{ x }^{ 3 }\left( x+h \right)  }^{ 3 } }  }$$Ersten Bruch vereinfachen, zweiten Bruch ausmultiplizieren:$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2h }{ hx(x+h) } +\frac { 5{ x }^{ 3 }-5{ x }^{ 3 }-{ 15 }x^{ 2 }h{ -15xh }^{ 2 }-{ 5h }^{ 3 } }{ { h{ x }^{ 3 }\left( x+h \right)  }^{ 3 } }  }$$Ersten Bruch mit h kürzen, zweiten Bruch vereinfachen und dan ebenfalls mit h kürzen:$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2 }{ x(x+h) } +\frac { -{ 15 }x^{ 2 }{ -15xh }-{ 5h }^{ 2 } }{ { { x }^{ 3 }\left( x+h \right)  }^{ 3 } }  }$$Nun kann der Grenzwert bestimmt werden:$$=-\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 15 }{ { x }^{ 4 } }$$

Comments

erst mal vielen vielen dank, aber ich mus die ableitungsformel von f(x)= 2x^-1+5x^-1

finden, und dann darf ich am ende doch kein h im unteren bruch finden, gerechnet habe ich

lim h - 0  (   (2(x+h)^-1+5(x+h)^-3) - (2x^-1  + 5x^-3)  )  / h

= lim h-0 (      (2/ x+h) + ( 5/ x^3+h^3 ) - ( 2/x) + ( 5/ x^3)   )   /  h

weist du wie es dann weiter get


oder macht man nur  f( x)= 2x^-1+ 5x ^-3

= 2x-2  + -15 x^-4

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= lim h-0 (      (2/ x+h) + ( 5/ x³+h³ ) - ( 2/x) + ( 5/ x³)   )   /  h

Das Rote ist falsch.

( x + h ) ³ = x ³ + 3 x ² h + 3 x h ² + h ³ )

Ich zeige dir morgen früh, wie die Berechnung läuft, falls es bis dahin nicht jemand anderes gemacht hat.

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f(x) = 2x^-1 + 5x^-1

Wir bilden den Differenzialkoeffizienten:

(2(x+h)^-1 + 5(x+h)^-1 - 2x^-1 - 5x^-1)/h =

[2/(x+h) + 5/(x+h) - 2/x - 5/x]/h | oben gemeinsamer Nenner (x+h)*x

{2x/[(x+h)*x] + 5x/[(x+h)*x] - 2*(x+h)/[(x+h)*x] - 5*(x+h)/[(x+h)*x]}/h =

{(2x + 5x - 2x - 2h - 5x - 5h)/[(x+h)*x]}/h =

{-7h/[(x+h)*x]}/h =

-7/[(x+h)*x] =

-7/(x²+hx)

Der Grenzwert dieses Terms für h -> 0 ist, weil hx beliebig klein wird:

-7/x²

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Wir bilden den Differenzialkoeffizienten

Differenzialquotienten

(War wohl 'n bisschen spät :-) )

Leider hast du dir deine Mühe auch vergeblich gegeben, denn die Funktion f ( x ) soll vermutlich so aussehen:

$$f(x)=2{ x }^{ -1 }+5{ x }^{ -3 }=\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ { x }^{ 3 } }$$

So jedenfalls lese ich es aus den Berechnungen des Fragestellers heraus.

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@Anonym: Meine Lösung findest du, wie versprochen, in meiner Antwort, ab dem Stichwort EDIT :

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@JotEs:

Alles kein Problem - spät war es in der Tat :-D

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Vielen vielen dank für die mühe


ist dann f(x) = -4x^-4   -  1/5 * x^5     = -16/x^3  - 1/x^4  ??

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Sehr gern geschehen!

Für

f(x) = -4x^-4   -  1/5 * x⁵

ist

f'(x) = +16x^-5 - x⁴ = 16/x⁵ - x⁴

 

Bitte immer auf die Vorzeichen achten, egal ob beim Exponenten oder beim Koeffizienten vor dem x :-)

 

Besten Gruß

Answer 2

Hi,

Nein. Du kannst nur subtrahieren, wenn Du den gleichen Nenner hast. Der wäre hier x^3(x^3+h^3)

(5x^3)/(x^3(x^3+h^3)) - (5(x^3+h^3))/(x^3(x^3+h^3)) = (5x^3-5x^3-5h^3)/(x^3(x^3+h^3))

= (-5h^3)/(x^3(x^3+h^3))

Grüße

Comments

Da steckt ein Vorzeichenfehler drin ...

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Merci. Hatte noch dran gedacht, dann aber nur ausmultipliziert^^.

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ok, danke, geht das dann so weiter:

(5h^3) / (x^3 * x^3 + x^3 *h^3)

(5h^3) / (2x^3 + x^3 *h^3)

5 / 2^3 + x^3

5/ 3x^3

???

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Nope,

Du kannst weiter nichts tun.


1. x^3*x^3 = x^{3+3} = x^6

-> Potenzgesetze

Was Du meinst ist x^3+x^3 = 2x^3


2. Kannst Du nicht einfach iwas kürzen was Dir grade gefällt, sondern nur Faktoren lassen sich kürzen! Hier gibt es keine weiteren Faktoren. Weiter wie bei uns gezeigt lässt sich das nicht vereinfachen ;).


Alles klar?

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Die Umformungen sind leider allesamt falsch.

Du solltest dir unbedingt noch einmal das Bruchrechnen und die Potenzgesetze  anschauen. Versuche auch, sie zu verstehen, nicht nur auswendig lernen!

Answer 3

 

5/(x³ + h³) - 5/x³

Ist es so gemeint, steht das h³ also auch unter dem Bruchstrich?

Dann auf den gemeinsamen Nenner (x³ + h³) * x³ bringen:

5x³/[(x³ + h³) * x³] - 5 * (x³ + h³)/[(x³ + h³) * x³] =

5x³/[(x³ + h³) * x³] - (5x³ + 5h³)/[(x³ + h³) * x³] =

-5h³ / [(x³ + h³) * x³] =

-5h³ / (x⁶ + x³h³)

 

Besten Gruß

Answer 4

Hier mal die allgemeine Vorgehensweise, wenn man a/x ableiten soll:

f(x) = a/x

 

f'(x) = lim (h → 0) (a/(x + h) - a/x)/h

f'(x) = lim (h → 0) (a·x/(x·(x + h)) - a·(x + h)/(x·(x + h)))/h

f'(x) = lim (h → 0) (a·x - a·(x + h))/(x·(x + h))/h

f'(x) = lim (h → 0) (-a·h)/(x·(x + h)·h)

f'(x) = lim (h → 0) -a/(x·(x + h))

f'(x) = -a/(x·x) = -a/x^2

Nachdem man das jetzt pauschal gezeigt hat darf man also auch direkt die Ableitung von

f(x) = 2/x + 5/x

angeben mit

f(x) = -2/x^2 - 5/x^2