Question

Stimmt es, dass alle Potenzfunktionen vom Typ f(x)=x^n drei gemeinsame Punkte besitzen?

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Stimmt es, dass alle Potenzfunktionen vom Typ f(x)=xn drei gemeinsame Punkte besitzen?

das trifft nur zu, wenn \(n\) immer ungerade ist. Dann gibt es außer \(x_0=0\), \(x_1=1\) noch den gemeinsamen Punkt \(x_2=-1\)

Answer 1

Nein.

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Answer 2

Aloha :)

Wenn alle Potenzfunktionen der Form \(x^n\) drei gemeinsame Punkte hätten, müssten insbesondere die beiden Funktionen \(x^2\) und \(x\) drei gemeinsame Punkte haben. Wir prüfen das mal nach:$$x^2=x\implies x^2-x=0\implies x(x-1)=0\implies x=0\;\lor\;x=1$$Die beiden Funktionen haben also nur zwei gemeinsame Punkte, einen bei \(x=0\) und einen bei \(x=1\). Daher ist die Behauptung durch ein Gegenbeispiel widerlegt.