Leider kann ich bei der folgenden Aufgabe nicht nachvollziehen, wie man auf cos(u) * 2u kommt und warum verschwindet …

Question

Aufgabe:

Partielle Integration und Substitution f(x) = cos(\( \sqrt{x} \) ). Leider kann ich bei der folgenden Aufgabe nicht nachvollziehen, wie man auf cos(u) * 2u kommt und warum verschwindet das Quadrat der oberen Grenze?

\( \int \limits_{0}^{\pi^{2}} \cos (\sqrt{x}) d x=\int \limits_{0}^{\pi} \cos (u) \cdot 2 u d u=2 \pi \sin (\pi)-2 \cdot 0 \cdot \sin (0)-\int \limits_{0}^{\pi} 2 \sin (u) d u=2 \cos (\pi)-2 \cos (0)=-4 \)

Answer 1

Aloha :)

Hier wurde eine Substitution durchgeführt:$$u\coloneqq\sqrt x\implies u(0)=0\;;\;u(\pi^2)=\pi\quad;\quad\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x}=\frac1{2u}\implies dx=2u\,du$$Damit lautet das Integral:$$\int\limits_0^{\pi^2}\cos(\sqrt x)\,dx=\int\limits_0^\pi\cos(u)\,2u\,du$$Der Rest ist dann partielle Integration.