Gibt es dazu einen Satz?

Question

Aufgabe: Wen ich eine beliebige 2x3 Matrix von links mit einer 2x2 Matrix, deren Treppennormalform die Einheitsmatrix multipliziere, ändert sich dann die TNF der 2x3 Matrix

Problem/Ansatz: Gibt das dazu einen Satz ?

Comments

Ist das die wörtliche Wiedergabe der Aufgabe?

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Nein, das ist mein Lösungsansatz, die Aufgabe ist sei

A= $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} $$  B = $$ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$und X eine beliebe 23 Matrix beweisen Sie das A(BX) und X die gleiche Treppennormalform haben.

Mein Ansatz, da Matrizenmultiplikation Assoziativ ist kann ich (AB)X   verwenden,
AB = $$  \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2a & 3 \end{pmatrix}  $$ die TNF ist Im.

Dann folgere ich (wen dem so ist) das durch die Multiplikation die TNF sich nicht ändert

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Ob der Satz einen bestimmten Namen hat: keine Ahnung.

Die Aussage ist jedenfalls richtig. Man spricht, dass die TNF invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen ist.

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Ok, danke, wieder was gelernt

Answer 1

Ich möchte etwas weiter ausholen:

Zwei Matrizen sollen "zeilenäquivalent" heißen (\(\sim\)),

wenn die eine durch sukzessive elementare Zeilenumformungen

in die andere übergeht. In jeder Äquivalenzklasse liegt genau eine

Matrix, die in reduzierter TNF (reduzierter Zeilenstufenform)

vorliegt. Sei nun \(X\) eine \(m\times n\)-Matrix und \(T\sim X\)

ihre eindeutig bestimmte red. TNF. Ferner sei \(A\) eine

invertierbare \(m\times m\)-Matrix. Diese ist zeilenäquivalent zur

Einheitsmatrix \(E_m\), also \(AX\sim E_mX=X\sim T\).