Hallo Leute, kriegt es jemand hin diese Aufgabe zu lösen. Sitze seit über 1 Stunde dran doch bekomme nichts mehr aus meinem Kopf raus. Vielen Dank
Text erkannt:
In dieser Aufgabe sind \( A, B, C \) beliebige Mengen.
a) Zeigen Sie: \( (A \cup B) \cap C \supseteq(A \cap C) \cup(B \cap C) \).
Orientieren Sie sich gerne Aufgabe \( 1.2 \).
b) Was folgt aus a) und Aufgabe 1.2?
c) Zeigen sie in ähnlichem Format: \( (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C) \)
Für alle Teilaufgaben gilt: Achten Sie bei Fallunterscheidungen darauf alle möglichen Fälle abzudecken!
Zum Verständnis was die Aufgabe 1.2 war habe ich diese ebenfalls hochgeladen. Diese hatte ich bereits schon gelöst.
Text erkannt:
In dieser Aufgabe, wollen wir zeigen, dass \( (A \cup B) \cap C \subseteq(A \cap C) \cup(B \cap C) \) für beliebige Mengen \( A, B, C \) gilt.
Bringen Sie dazu die unten aufgelisteten "Beweisschnipsel" in die richtige Reihenfolge. Beachten Sie, dass nicht alle Schnipsel in den Beweis gehören. Eine korrekte Lösung enthält genau alle notwendigen Schnipsel in der richtigen Reihenfolge.
[Anfang:] Wir zeigen: \( (A \cup B) \cap C \subseteq(A \cap C) \cup(B \cap C) \)
- Fall 3: \( a \in(C \cup B) \)
- Sei also: \( a \in(A \cup B) \cap C \)
- Dann muss: \( a \in(B \cap C) \) gelten.
- Damit ist die Aussage gezeigt (q.e.d).
- Fall 1: \( a \in A \) (und \( a \in C \) )
- Indem wir zeigen, dass für alle \( a \in(A \cup B) \cap C \) auch \( a \in(A \cap C) \cup(B \cap C) \) gilt.
- Und somit (trivialerweise): \( a \in(A \cap C) \cup(B \cap C) \).
- Fallunterscheidung:
- Und somit (trivialerweise): \( a \in(A \cap C) \cup(B \cap C) \).
- oder anders gesagt: \( a \in(A \cup B) \) und \( a \in C \).
- Fall 2: \( a \notin A \), aber \( a \in(A \cup B) \cap C \)
- Es gibt ein a, für das gilt: Wenn \( a \in A \cap C \), dann auch \( a \in(A \cap C) \cup(B \cap C) \)
- Folglich: \( a \in(A \cap C) \)
- Fall Blau: Beware, winter is coming!
