Schafft es jemand die Aufgabe zu lösen und den Lösungsweg mir genauer zu erklären. Kriege es einfach nicht hin.
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Sei \( A \) das deutsche Alphabet (siehe hier). In dieser Aufgabe betrachten wir sogenannte Tupelmengen \( M \) der folgenden Form: \( M \subseteq A \times \mathbb{N} \). Diese Mengen haben die Möglichkeit, die Anzahl der Vorkommen eines bestimmten \( x \in A \) als zweiten Wert des Tupels "zu speichern". Hierbei ist wichtig, dass in Tupelmengen keine zwei Elemente \( (x, i),(y, j) \) mit \( x=y \) vorkommen dürfen und für alle Elemente \( (x, i) \) einer Tupelemenge stets \( i>0 \) gilt. Beispiele:
- legale Tupelmengen: \{\}\( ,\{(a, 1),(b, 3)\} \)
- illegale Tupelmengen: \( \{(a, 0)\} \), sollte \{\} sein. \( \{(b, 1),(b, 3)\} \), sollte \( \{(b, 4)\} \) sein. Insofern sind die Mengenrelationen \( \cup, \cap \) und \( \backslash \) in ihrer ursprünglichen Definition für Tupelmengen nur begrenzt sinnvoll. Wir definieren neue Mengenrelationen durch Verwendung der Notation: \( \{x \mid x \) erfüllt die hier aufgeführten Bedingungen \( \} \).
Hierbei verwenden wir die Notation \( \left(x,_{-}\right) \in M \), bzw. \( \left(x,_{-}\right) \notin M \), um auszudrücken, \( o b \) in einer Tupelmenge \( M \) das Zeichen \( x \in A \) mit beliebiger Anzahl vorkommt, bzw. nicht vorkommt.
Wir definieren zwei neue Mengenrelationen für beliebige Tupelmengen \( M, N \) :
- \( M \cap^{\prime} N:=\{(x, \min \{i, j\}) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N\} \)
- \( M-N:=\{(x, i-j) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N, i>j\} \cup\left\{(x, i) \mid(x, i) \in M,\left(x,_{-}\right) \notin N\right\} \)
a) Geben Sie \( M \cap^{\prime} N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.
b) Geben Sie \( M-N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.
c) Definieren Sie die Relation \( \cdot \), sodass \( M \cdot N \) genau die in \( M \) und \( N \) vorkommenden \( x \in A \) mit multipliziertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale
Tupelmenge sein! \( \quad \) Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\} \cdot\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(b, 6)\} \)
d) Definieren Sie die Relation \( + \), sodass \( M+N \) genau die Elemente der beiden Tupelmengen mit addiertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein! Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\}+\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(a, 1),(b, 5),(c, 4)\} \)
