Integralrechnung. Integral von 1/(x^2 +4)^2 bestimmen. Tipp notwendig.

Question

Ich muss das Integral von 1/(x^2 +4)^2 lösen.. jedoch weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Über jede hilfe wäre ich dankbar

Comments

Hilft dir das Resultat hier weiter?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+integrate+1%2F%28x%5E2+%2B4%29%5E2

Sieht nach Partialbruchzerlegung aus - vielleicht auch partielle Integration. Ist ja ein Produkt 1/(x^2 + 4) * 1/(x^2 + 4). Eventuell kannst du dir ja die Schritt-für-Schrtt-Lösung noch ansehen.

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Integration durch Substitution. Zumindest macht Wolframalpfa das so.

Ich persönlich wäre aber nie auf so eine Substitution gekommen.

Answer 1

∫ 1/(x^2 + 4)^2 dx

 

Substitution

x = 2·TAN(u)

dx = 2/COS(u)^2 du

 

∫ 1/((2·TAN(u))^2 + 4)^2 dx

∫ 1/(4·SIN(u)^2/COS(u)^2 + 4)^2 dx

∫ 1/(4·(SIN(u)^2/COS(u)^2 + 1))^2 dx

∫ 1/(4·(SIN(u)^2/COS(u)^2 + COS(u)^2/COS(u)^2))^2 dx

∫ 1/(4·((SIN(u)^2 + COS(u)^2)/COS(u)^2))^2 dx

∫ 1/(4·(1/COS(u)^2))^2 dx

∫ 1/(16·(1/COS(u)^4)) dx

∫ COS(u)^4/16 dx

∫ COS(u)^4/16 · 2/COS(u)^2 du

∫ COS(u)^2/8 du

SIN(u)·COS(u)/16 + u/16

TAN(u)/(16 + 16·TAN(u)^2) + u/16

 

Resubstitution

u = ARCTAN(x/2)

 

(x/2)/(16 + 16·(x/2)^2) + ARCTAN(x/2)/16

(x/2)/(16 + 16·x^2/4) + ARCTAN(x/2)/16

(x/2)/(4·x^2 + 16) + ARCTAN(x/2)/16

x/(8·x^2 + 32) + ARCTAN(x/2)/16

 

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PS: Ohne die Hilfe von Wolframalpha wäre ich nie auf diese geniale Substitution gekommen.

Trotzdem habe ich es mal so durchgerechnet allein damit ich es verstehe.

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Vielen dank dass du dir die Mühe gemacht hast