Was sind die Einheiten eines Rings?

Question

Hallo, ich verstehe folgende Aufgabe nicht:

Z[i] = {a+bi | a,b ∈ Z, i^2 = −1} ist ein kommutativer, nullteilerfreier Ring. Was sind die Einheiten von Z [ i ]? Wieso ist Z [ i ] kein Körper?

kann mir bitte jemand mit der Lösung helfen?

Answer 1

Einheiten sind Elemente eines Ringes, die ein multiplikatives Inverses haben

Zu a+bi ist das

(a-bi) / (a^2 + b^2 ) = \(\frac{a}{a^2+b^2}- \frac{b}{a^2+b^2}\cdot i \)

jedenfalls, wenn nicht a=b=0 gilt,

aber das wäre ja das 0-Element des Ringes, das ist nie eine Einheit.

Da aber a und b aus Z sind, muss also noch gelten

a^2 + b^2 ist Teiler von a und a^2 + b^2 ist Teiler von b.

Das gilt z.B. bei 1+i nicht, also ist das keine Einheit.

Da also nicht jedes von 0 verschiedene Element eine

Einheit ist, ist Z[i] auch kein Körper. Siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Zahl#Definition