Wenn der Winkel bei A die Größe 20° hat, welche Größe hat dann der Winkel α bei M?

Question

Gegeben sind ein Kreis um M und eine zum Durchmesser BC senkrechte Sehne, die den Kreis in A schneidet:

Wenn der Winkel bei A die Größe 20° hat, welche Größe hat dann der Winkel α bei M?

Comments

Der Nebenwinkel von α ist als Zentrumswinkel 2*20° = 40°, somit α = 140°.

Answer 1

Sei N der Punkt, in dem die Sehne BC schneidet.

Dann ist MNA ein rechtwinkliges Dreieck mit einem

Innenwinkel von x° bei A und demnach (90-x)° bei M.

CMA ist gleichschenklig mit Basiswinkeln von y° und

bei M einem Winkel von (90+x)° [Nebenwi. zu (90-x)°]

Wegen des Satzes des Thales ist bei A ein rechter Winkel,

also x+y = 70 bzw.  y = 70 - x .

Im Dreieck CMB gilt 2y + 90+x = 180  also

                           140-2x + 90 + x = 180

                           230 - x = 180

                        also x = 50.

Und damit ist der stumpfe Innenwinkel von CMA bei M 140°

Das Ganze an CB gespiegelt ergibt:

Der gesuchte Winkel 140° groß.

Answer 2

Kreis um M(0|0) mit r=1:   x^2+y^2=1

Gerade durch B(1|0)  mit  α=110°

\( \frac{y-0}{x-1} \)=tan(110°)≈-2,747

y=-2,747x+2,747

Gerade schneidet Kreis in A:

x^2+(-2,747x+2,747)^2=1

x₁=1

x₂≈0,765   → y₂≈0,64

Spiegelpunkt an der x-Achse: D(0,765|-0,64)

Steigung der Geraden durch M und D:

tan(β)=\( \frac{-0,64}{0,765} \)≈-0.84

\( tan^{-1} \)(-0.84)≈-40,03°

Der Winkel β bei M beträgt 140°.

Comments

@Moliets: Du verwendest gerundete Zwischenergebnisse in anschließenden Rechnungen. Da mag ich gar nicht. Mit etwas Glück rundest du so geschickt, dass du das richtige Endergebnis 140° erhältst.