Bernoulli, Spiel mit Zurücklegen

Question

Aufgabe:

Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Bei einem Einsatz von 5eu kann man 75eu gewinnen wenn man 20 Pkt erzielt. Es gibt 8Karten davon 2 mit 10Pkt und 6 mit 9Pkt. Ist das Spiel fair?

Wie muss man vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Ich fasse mal zusammen, was wir wissen:

1) 2 Karten mit 10 Punkten

2) 6 Karten mit 9 Punkten

3) Versuch: 2-mal Ziehen mit Zurücklegen.

4) Einsatz: 5€ pro Spiel

5) Gewinn 75€, wenn 20 Punkte gezogen werden.

Wir sollen beurteilen, ob das Spiel fair ist...

Da man nur gewinnen kann, wenn man 2-mal eine 10-Punkte-Karte zieht, brauchen wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, um die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn zu erhalten:$$p=\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{8}=\frac14\cdot\frac14=\frac1{16}$$Da man auf jeden Fall 5€ Einsatz bezahlen muss, um überhaupt spielen zu dürfen, beträgt der erwartete Gewinn:$$G=\frac1{16}\cdot75€-5€=-0,3125€\approx-0,31€$$Pro Spiel macht der Anbieter etwa \(31\,\mathrm{ct}\) Gewinn. Wenn man bedenkt, dass der Anbieter auch Kosten hat und seine Brötchen auch bezahlen muss, ist das eigentlich fair. Aber die wollen vermutlich hören, dass das Spiel nicht fair ist, weil der erwartete Gewinn negativ ist.

Comments

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass man nix erhalten kann wenn man nicht 20er erzielt. Ist es relevant?

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Das ist nicht relevant. Du könntest das in der Formel noch explizit berücksichtigen:$$G=\frac1{16}\cdot75€+\frac{15}{16}\cdot0€-5€=\cdots$$Aber das ändert nichts am Ergebnis.

Answer 2

2/8*2/8*70 - (1-2/8*2/8)(-5) = -0,3125

Man verliert im Schnitt 31 Cent. Das Spiel ist unfair.