Berechnen von Mengen und Indexmengen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist N, eine beliebige Indexmenge (nicht notwendigerweise endlich)

Ferner seien Mengen   fur jedes gegeben. Zeigen Sie:

\( T \cap \bigcup_{n \in N} Z_{n}=\bigcup_{n \in N}\left(T \cap Z_{n}\right) \)

\( T \cup \bigcap_{n \in N} Z_{n}=\bigcap_{n \in N}\left(T \cup Z_{n}\right) \)

Hallo, hier weiß ich nicht wie man bei Indexmengen vorgeht und kann jemand einen erklärenden Rechenweg zeigen?

Und wie interpretiert man diese Notation?

vg coffee.cup

Answer 1

\(  \bigcup_{n \in N} Z_{n} \)

bedeutet : Vereinigung aller Mengen Z_n . Wenn du also ein Element

daraus hast, dann bedeutet das: Es gibt ein n∈N ist das Element in Z_n .

Der Nachweis der Gleichung \( T \cap \bigcup_{n \in N} Z_{n}=\bigcup_{n \in N}\left(T \cap Z_{n}\right) \) könnte dann so beginnen:

Sei \( x ∈ T \cap \bigcup_{n \in N} Z_{n} \)

==>  x∈T und   \( x ∈  \bigcup_{n \in N} Z_{n} \)

==>    x∈T und es gibt ein n∈N mit  x∈Z_n

==>  Es gibt ein  n∈N mit x∈Z_n und   x∈T .

==>  Es gibt ein  n∈N für das gilt gilt x∈Z_n ∩ T .

==>  \(x∈ \bigcup_{n \in N}\left(T \cap Z_{n}\right) \)

Entsprechend kannst du auch die andere Inklusion beweisen.