Verifizierung der Gleichheit der Mengen {{a},{a,b}} = {{x},{x,y}} genau dann, wenn a = x und b = y.

Question

Seien a, b, x, y vier Dinge. Verifizieren Sie, dass die Gleichheit von Mengen

$$ \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} = \{ \{ x \} , \{ x , y \} \} $$

genau dann gilt, wenn a = x und b = y.

Tipp: Unterscheiden Sie die Fälle a = b und a ≠ b, und beachten Sie, dass zwei Implikationen/Inklusionen zu
zeigen sind.

Tipps die mir zum Lösen der Aufgabe verhelfen könnten, wären echt klasse, !

Answer 1

1. Fall:  a=b ==>   {a,b} = {a}  und damit

steht links:  {{a}} und das ist gleich {{x} , {x,y }}

Und deshalb muss die rechte Menge auch einelementig sein,

also x=y.  Dann bleibt {{a}} = {{x}} und deshalb {a} = {x},

also a=x und wegen a=b und x=y auch b=y.

Ist umgekehrt a=x und b=y dann folgt in diesem Fall (a=b)

ja  x=a=b=y  also auch   {  {a,b} , {a} }  =  {{x} , {x,y }} .

2. Fall  a≠b

und sei      {  {a,b} , {a} }  =  {{x} , {x,y }}

……   dann  betrachte etwa zuerst {a} .

Das muss dann ja auch ein Element von   {{x} , {x,y }}

sein.    Also  {a} = {x}   oder  {a}= {x,y }.

Falls  {a} = {x}  hast du schon mal a=x.

Anderenfalls hättest du a=x=y und das heißt in der

rechten Menge ist kein Element zweielementig in der

linken aber (wegen a≠b ) schon. Widerspruch, also gilt  a=x .

Und durch den Vergleich der jeweils anderen Elemente bekommst

du y=b.

etc.