Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f.

Question

Seien f : R × R → R, f(x, y) = xy − y
        g : R → R × R, g(x) = (3x, 7)

a) Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f. (Dazu gehören auch Definitions- und Wertebereiche.)

b) Was ist f^-1([0, 1])? (Ohne Begrundung.)

c) Was ist g⁻¹ ({5} × R)? (Ohne Begrundung.)

Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse in (b) und (c), soweit möglich.

Answer 1

Ich nehme mal stark an, dass mit \(R\) eher die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) gemeint sind.

a) Für jedes \(x\in \mathbb{R}^2\) ist \((f\circ g) (x) = f(g(x)) = f(3x,7) = 3x\cdot 7 - 7 = 21x-7\).

Werte- und Definitionsbereich jeweils offensichtlich \(\mathbb{R}\).

Analog wird für jedes \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) nun \((g\circ f)(x,y)\) ermittelt.

b) Für welche Tupel \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) gilt \(0\leq f(x,y) = xy-y = y(x-1)\leq 1\)?

Lösungsansatz: Unterscheide hier zwischen \(x< 1\), \(x=1\) und \(x>1\) und überlege dir in jedem der Fälle die geeigneten Werte für \(y\).

c) Ich denke es sollte schnell auffallen, dass \(g^{-1}(\{5\}\times \mathbb{R}) = g^{-1}(\{5\}\times \{7\}) = g^{-1}(\{(5,7)\})\), guck dir die Funktionswerte von \(g\) zum Verständnis mal genau an.

Der Rest sollte hier dann auch kein Problem mehr sein..