Zeigen Sie: Wenn f : X → Y und g : Y → X, sodass g ◦ f = idX, dann ist f injektiv und g surjektiv.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Wenn f : X → Y und g : Y → X, sodass g ◦ f = id_x, dann ist f injektiv und g surjektiv.

Problem/Ansatz:

also mein Ansatz ist zunächst zu zeigen, dass wenn g ◦ f = id_x ist, dann muss g die Inverse von f sein bzw. die id_y selbst.

Wenn das so ist, dann müssen ja alle Elemente aus dem Definitionsbereich von g mindestens einem x∈X zugeordnet sein, damit f vollständig auf g abgebildet werden kann (glaub ich). Das wäre ja dann schonmal Surjektivität für g.

Wenn also g(f(x)) = id_x    bzw.    f^-1(f(x)) = id_x ist, dann kann f(x) ja höchstens ein y∈Y zugeordnet sein, weil die Identität von x ja eindeutig ist nicht mehrere x auf das selbe y abgebildet werden können. Bzw. wenn f(x) genau einen y-Wert ausspuckt, kann durch die Umkehrung ja zu jedem einzelnen y∈Y genau ein x∈X zugeordnet sein, was auf Injektivität schließen lässt.

Ist diese Argumentation schlüssig und vor allem richtig? Bin mir bei solchen Beweisen immer sehr unsicher, weil ich oft nicht weiß wann man etwas tatsächlich gezeigt hat und ob meine Aussagen hinreichend gültig sind.

Danke!!

Answer 1

dann müssen ja alle Elemente aus dem Definitionsbereich von g mindestens einem x∈X zugeordnet sein,

Jedes Element aus dem Definitionsbereich von g muss sogar auf genau ein x∈X abgebildet werden. Sonst ist g keine Funktion mit Definitionsbereich Y.

damit f vollständig auf g abgebildet werden kann

f wird auf nichts abgebildet. f ist eine Abbildung. f bildet also Mengen auf Mengen ab.

Ich vermute du hast die richtige Idee, musst aber noch an der Formulierung arbeiten.

Wenn also g(f(x)) = id_x ... ist,

id_x ist eine Abbildung von X nach X. g(f(x)) ist das Element von X, das du bekommst wenn du x mittels f auf ein Element von Y abbildest und das Ergebnis dann mittels g auf ein Element von Y abbildest.

dann kann f(x) ja höchstens ein y∈Y zugeordnet sein

Dem f(x) wird überhaupt kein y∈Y zugeordnet. f(x) ist selbst ein Element aus Y.

wenn f(x) genau einen y-Wert ausspuckt, kann durch die Umkehrung ja zu jedem einzelnen y∈Y genau ein x∈X zugeordnet sein

f(x) = x² spuckt für jedes x genau ein y-Wert aus. Trotzdem kann die Umkehrung sowohl √y als auch -√y sein.

Zur Surjektivität von g:

Seien f : X → Y und g : Y → X, sodass g ◦ f = id_X ist. Sei x ∈ X. Dann ist

        (g ◦ f)(x) = id_X(x) = x,

also

        g(f(x)) = x.

Insbesondere existiert ein y ∈ Y mit g(y) = x, nämich y = f(x). Also ist g surjektiv.

Zur Injektivität von f:

Seien f : X → Y und g : Y → X, sodass g ◦ f = id_X ist. Seien x₁,x₂ ∈ X mit

        f(x₁) = f(x₂).

Dann ist

        g(f(x₁)) = x₁

weil g ◦ f = id_X ist. Aus gleichem Grund ist g(f(x₂)) = x₂ und somit

      g(f(x₁)) = x₂

wegen f(x₁) = f(x₂).

Also ist x₁ = x₂ und somit ist f injektiv.

Answer 2

also mein Ansatz ist zunächst zu zeigen, dass wenn g ◦ f = idx ist, dann muss g die Inverse von f sein bzw. die idy selbst.

Das scheint mir so nicht zu stimmen.

Betrachte X={1}     und   Y ={1,2,3 }

und  f: {1} → {1,2,3}   mit f(1)=1  und g : {1,2,3 } → {1}  mit g(y)=1 für alle y.

Dann existiert kein f^(-1) , weil f nicht bijektiv.

Es ist aber g ◦ f = id_X   .

Deshalb würde ich direkt auf die Definitionen zurück gehen.

Also etwa so: Seien a,b ∈ X mit f(a)=f(b) .

Da g eine Abbildung ist, also auch g(f(a))=g(f(b)) .

Wegen g ◦ f = id_X folgt g(f(a)) = a und g(f(b))=b ,

                also a = b . Somit  f injektiv.