Sei nun g ◦ f = idX. Zeigen Sie, dass f injektiv und g surjektiv ist!

Question

Seien X und Y zwei nicht-leere Mengen und seien f : X → Y und g : Y → X. Sei f ◦ g die Hintereinanderausfuhrung
von (erst) g und (dann) f, d.h. es gilt f ◦ g = f(g(x)). Ferner sei idX die Identit¨at auf
X so, dass fur alle x ∈ X gilt idX(x) = x

Ich bin komplett ratlos HILFE!

Answer 1

Wenn g nicht surjektiv ist, dann gibt es ein x ∈ X, so das g(y) ≠ x für alle y ∈ Y. Insbesondere gibt es dann ein x ∈ X, so das g(f(x)) ≠ x, weil {f(x) | x∈X} ⊂ Y ist.

Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es x₁, x₂ ∈ X mit x₁ ≠ x₂ und  f(x1) = f(x2). Für diese x₁, x₂ gilt dann g(f(x₁)) = g(f(x₂)) und somit g(f(x₁)) ≠ x₁ oder g(f(x₂)) ≠ x₂.