Gibt es eine Abbildung der Komposition (g ◦ f) A → C, die weder injektiv noch surjektiv ist?

Question

Aufgabe:

Für Funktionen f : A → B injektiv und g : B → C surjektiv. Gibt es eine Abbildung der Komposition (g ◦ f) A → C, die weder injektiv noch surjektiv ist?

Answer 1

Ja gibt es. Wähle \( A = \{1,2 \} \), \( B= \{3,4, 5\} \) und \( C=\{6,7 \} \). Weiter ist \(f(1)=3 \) und \( f(2)=4 \) und damit injektiv. Wähle \(g(3)=g(4)=6 \) und \(g(5)=7 \). Dann ist \( g \) surjektiv. Nun gilt für \( h= g \circ f \): \( h(1)=h(2)=6 \) und \( h \) ist weder injektiv noch surjektiv.

Comments

Kann man das auch ohne zahlen also ganz generell beschreiben?

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Wie willst du das generell beschrieben? Aus \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv folgt nicht, dass \( h \) surjektiv oder injektiv ist. Ein Gegenbeispiel hab ich dir gegeben.

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Ah okay. Danke dir

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Wie würde denn eine lauten die injektiv / surjektiv ist

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Mache dir doch mal klar, was injektiv und surjektiv bedeuten und spiele mal mit der Definition der Funktionen herum. Was muss \( h \) erfüllen, damit die Funktion injektiv ist? Was, damit sie surjektiv ist?

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A->C injektiv

Für x,y in A gilt f(x)=f(y) => x=y

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Wie musst du \( h \) dann anpassen bzw. ist dir klar, warum die Funktion, wie ich sie definiert habe, nicht injektiv ist?

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Also g(f(1))=g(f(2)) aber warum ist beides 6? Das habe ich noch nicht ganz verstanden.

MEINE ÜBERLEGUNGEN

A = {1}

B={1,2}

C={1}

f(1) = 1 (das ist natürlich injektiv)

g(1) = g(2) = 1 (Ist das surjektiv?

g(f(1)) = 1 (und das auch wieder offenbar injektiv)