Hallo Thorsten,
ich versuche mal ausführlich zu beschreiben, wie die Suche nach passenden Bijektionen aussehen könnte:
Für die Reflexivität betrachten wir also eine beliebig vorgegebene Menge \(M\subseteq\mathbb{N}\) und müssen eine bijektive Abbildung \(f\colon M\to M\) finden. Versuchen wir dazu erst einmal eine beliebige Abbildung \(f\colon M\to M\) zu finden, vielleicht haben wir ja Glück und sie ist bijektiv. Wir müssen also zu jedem \(x\in M\) ein Element von \(M\) zuordnen. Sei also \(x\in M\) beliebig vorgegeben. Hast du eine Idee, woher wir nun ein Element von \(M\) finden können? Moment, wir haben ja mit \(x\) schon eines... Also warum nicht \(x\in M\) das Element \(x\) selbst zuordnen? Also könnten wir die Abbildung
$$f\colon M\to M,\quad x\mapsto x$$
betrachten. (Vielen Mathematikern ist diese Abbildung als die identische Abbildung auf \(M\) geläufig.) Ist sie bereits bijektiv?
Zur Symmetrie dürfen wir voraussetzen, dass \(M\sim N\) gilt und müssen \(N\sim M\) zeigen. Wegen \(M\sim N\) existiert eine Bijektion \(f\colon M\to N\). Finden müssen wir nun eine Bijektion \(g\colon N\to M\), die sicherlich von \(f\) abhängen wird. Kennt ihr Umkehrabbildungen bijektiver Abbildungen aus der Vorlesung?
Kannst du zur Transitivität selbst schon formulieren, was wir für bijektive Abbildungen als gegeben betrachten dürfen und was für eine bijektive Abbildung wir suchen? Falls ja: Hast du eine Idee, wie sich eine Abbildung mit der gesuchten Definitionsmenge und Zielmenge aus den gegebenen Abbildungen basteln lässt? Vielleicht kennt ihr eine solche Abbildung aus der Vorlesung? Oder du kannst selbst eine solche Abbildung zusammenbasteln? Ist diese Abbildung bijektiv?
Ich möchte noch einmal explizit herausstellen, dass bei Symmetrie und Transitivität jeweils mindestens eine Abbildung als gegeben vorausgesetzt werden darf, die zur Konstruktion der gesuchten Abbildung verwendet werden kann.
Kommst du mit diesen Hinweisen schon weiter oder hakt es noch irgendwo?
Viele Grüße, Tobias
