Hallo,
Und wie pack ich das jetzt am besten in einen Induktionsbeweis ?
Man beginnt damit, den Summenterm auf zu stellen. Ich hatte ja bereits erwähnt, dass die ersten vier Zahlen $$a_1=2,\space a_2=5,\space a_3=8 \space \text{und}\space a_4=11$$sind. Die Differenz ist immer \(3\), also muss man den Index (z.B.: \(k\)) mit \(3\) multiplizieren. Das macht$$3k: \quad 3\cdot 1=3, \quad 3\cdot 2 = 6,\quad 3\cdot 3 = 9, \quad 3\cdot 4=12, \quad \text{u.s.w}$$Wenn man die beiden Folgen vergleicht, so sieht man, dass sie sich nur um \(1\) unterscheiden. Folglich ist$$a_k = 3k - 1$$und die Summe \(S_n\) der ersten \(n\) Zahlen dieser Folge ist$$S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n}3k-1 $$
Demnach soll mittels vollständiger Induktion bewiesen werden dass$$\sum\limits_{k=1}^{n}3k-1 \stackrel{?}{=} \frac n2(3n+1)$$gilt. Der Induktionsbeweis besteht aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt. Im Induktionsanfang prüft man, ob die Gleichung für \(n=1\) aufgeht:$$\sum\limits_{k=1}^{1}3k-1 = \frac{1}{2}(3\cdot 1 +1) \implies 2=2\space \checkmark$$Im Induktionschritt zeigt man, dass das auch für \(n+1\) gilt, wobei man davon ausgehen kann, dass es bereits für \(n\) bewiesen ist. Also ist zu zeigen, dass $$\sum\limits_{k=1}^{n+1}3k-1 \stackrel{?}{=} \frac{n+1}{2}(3 (n+1) +1)$$gilt. Und das geht z.B. so:$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{n+1}3k-1&= \sum\limits_{k=1}^{n}(3k-1) \space + 3(n+1) - 1\\&=\frac n2(3n+1) + 3n +2\\&= \frac12(3n^2+n + 6n+4)\\&=\frac12(3n^2 + 7n + 4)\\&=\frac12(n+1)(3n+4)\\&= \frac{n+1}2(3(n+1)+1)\\ &\text{q.e.d}\end{aligned}$$
