Was bedeutet C^D, bzw B^D im Zusammenhang mit der Aufgabe, ob es eine Bijektion zwischen (BxC)^D und B^DxC^D gibt?

Question

Aufgabe: Was bedeutet C^D, bzw. B^D im Zusammenhang mit der Aufgabe, ob es eine Bijektion zwischen (BxC)^D und B^D x C^D gibt?

Comments

B^D könnte meinen: Die Menge aller Abbildungen von D nach B.

Answer 1

Zu zeigen ist, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der Abbildungen

\(D\rightarrow B\times C\) und der Menge der Paare von Abbildungen \((D\rightarrow B\, D\rightarrow C)\)

gibt:

Seien \(\quad pr_1:\; B\times C\rightarrow B, \; (x,y)\mapsto x\)

und \(\quad pr_2:\; B\times C\rightarrow C,\; (x,y)\mapsto y\) die beiden

Projektionsabbildungen auf die Komponenten,

dann definiere \( (B\times C)^D\rightarrow B^D \times C^D, \; f \mapsto (pr_1\circ f,\; pr_2\circ f) \)

und \(B^D\times C^D\rightarrow (B\times C)^D, \; (f_B,f_C)\mapsto f:x\mapsto (f_B(x),f_C(x))\).

Diese beiden Zuordnungen sind offenbar Umkehrabbildungen von einander.