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Lösungen der Gleichung gesucht : 2^ k -1= 3 * 5^ l mit k, l aus der Menge der natürlichen Zahlen
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Ich nehme an, du meinst 2 k - 1 = 3 * 5 l

Suchst du alle Lösungen oder genügt eine?

Eine Lösung , die eigentlich auch sofort ins Auge fällt, ist:

K = 4 , l = 1

Alle Lösungen zu finden könnte etwas schwierig sein ...

Ich suche alle Lösungen
Könntest du bitte noch meine nachträglich in meine Antwort eingefügte Annahme bestätigen (erster Satz)?
Ja deine Annahme stimmt
Das habe ich befürchtet :-)

Dann werde ich meine Antwort zu einem Kommentar machen, damit die Frage wieder für alle sofort sichtbar ist und bearbeitet werden kann.
Was dürft ihr denn für Hilfsmittel verwenden? Also welche Themen nehmt ihr gerade durch? Modulo? ggT? Euklidischer Algorithmus etc. ?


  eine allgemeingütlige Formel oder einen Nachweis habe ich nicht
finden können. Ein selbst geschriebenes Computerprogramm liefert
für k zwischen 2 und 200 keine weitere Lösung.

  mfg Georg
Ich denke ,dass es keine weitere Lösung gibt, brauche aber einen Beweis dafür
Bin mir nicht so sicher bei der Interpretation von:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+2%5E+k+-1%3D+3+*+5%5E+l++

Ausser für n=0 kommt da vermutlich keine reelle Lösung raus.

1 Antwort

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Außer den Lösungen k=0,l=0 und k=4,l=1 gibt es keine weiteren. Beweis durch unendlichen Abstieg: Aus $$2^k-1 \equiv 0 \mod 3$$ folgt k gerade, also von der Form 2t. Damit gilt $$2^k-1=(2^t-1)(2^k+1)$$, also $$2^t\pm 1=3^i5^j , i\in \{0,1\}, j\leq l$$. Im Fall - ergibt sich für i=1 wie oben t gerade, im Fall i=0 ergibt sich $$2^t \equiv 1 \mod 5$$ also $$t\equiv 0 \mod 4$$ (der Fall j=0 liefert ein bereits bekanntes Ergebnis). t ist also immer gerade. Im Fall + ergibt sich für i=1 $$t\equiv 1 \mod 2$$, was nach dem gerade gezeigten nicht sein kann. Damit muss $$2^t-1= 3\cdot 5^j, j \leq l$$ gelten. Führt man dies nun weiter (unendlicher Abstieg) teilt jede 2-er Potenz k, ein Widerspruch.
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