Was bedeutet das Sternchen hinter der Klammer?

Question

Aufgabe:

|a+b|² = (a+b)(a+b)*

Problem/Ansatz:

Was bedeutet das Sternchen hinter der Klammer?

Comments

komplex konjugieren, diese Schreibweise ist zB in der Physik nicht ungebräuchlich.

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Also: (a+b)(-a-b) ?

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Komplex konjugieren ≠ mit -1 multiplizieren

(a+b)(Re(a+b)-i*Im(a+b))

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Stimmt. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich...

Ich glaube das ganze bringt mir für mein Problem aber nichts.. Trotzdem danke!

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Für Vektoren (die man als Matrizen auffassen kann) ist das * natürlich eher die Adjunktion. Also komplex konjugieren + transponieren (aus Zeilenvektor einen Spaltenvektor machen und umgekehrt).

Wenn man mal annimmt, dass a und b Zeilenvektoren wären (sonst müsste man das Sternchen an den ersten Faktor schreiben, um eine halbwegs konsistente Notation zu erhalten) kann man das umformen:

|a+b|^2 = (a+b)(a+b)* = (a+b)(a*+b*) = aa* + ab* + ba* + bb* = |a|^2 + |b|^2 + ab* + ba*

Falls a und b orthogonal sind ist deren Skalarprodukt = 0, das Standardskalarprodukt in dieser Notation gegeben durch

<a,b> = ab*, <b,a> = ba*

beide sind 0. Deshalb fallen die beiden zusätzlichen Terme raus. Wenn a und b nicht orthogonal sind gilt keine Gleichheit, der Satz des Pythagoras gilt aber auch bekanntlich nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Answer 1

Hallo,

ich vermute, dass es so gemeint ist:

Für komplexe Zahlen:

\((a+bi)(a+bi)^*  \\=(a+bi)(a-bi)\\=a^2-(bi)^2 \\=a^2+b^2 \\=|a+bi|^2 \)

Für Vektoren:

Zu zeigen:

\(|\vec a+\vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2\)

\(|\vec a+\vec b|^2 \\= (\vec a+\vec b)^2\\=      \vec a^2 + \vec b^2 +2\vec a \vec b \\= |\vec a|^2 + |\vec b|^2 +2\cdot|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \cos\varphi \)

Die Behauptung gilt, wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, oder wenn cosφ=0 ist, d.h. φ=90°. Die Vektoren schließen einen rechten Winkel ein.

Comments

Ich soll den folgenden Ausdruck beweisen: |a+b|^2  = |a|^2  + |b|^2

Hat das mit dem von oben überhaupt etwas zu tun oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

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Geht es denn um komplexe Zahlen oder was sollen a und b sein? Oder geht es um Vektoren?

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Es geht um den Satz des Pythagoras, Parallelogrammgesetz

Ja um Vektoren

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Ich kenne diese Schreibweise nur von den komplexen Zahlen, aber es macht ja irgendwie keinen Sinn es damit zu beweisen.... Bin einfach nur verloren

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Wie kommst du dann auf das Sternchen?

\(|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2\) gilt außerdem nur im rechtwinkligen Dreieck, bzw. Rechteck.

Steht da vielleicht ein ≤ oder ≥ ?

Wie lautet die Aufgabe genau?

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Nein da steht die Gleichung mit einem =

Ich soll die Gleichheit beweisen, nur weiß nicht wie ich den Betrag auflösen kann. Ich habe gerade eine Idee und würde das eben versuchen. Wenn ich scheitere, melde ich mich :D

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Ich kann da nicht so wirklich folgen...

Wo kommt der Winkel her?

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Kennst du das Skalarprodukt?

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Ja. Verstehen tue ich es trotzdem nicht. Und wieso kann man den Betrag einfach weglassen und durch Klammern tauschen?

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Vektor a mal Vektor b gleich Betrag von a mal Betrag von b mal cos des eingeschlossenen Winkels.

Mathematisch:

\(\vec a \cdot \vec b=|\vec a |\cdot|\vec b| \cdot\cos\varphi\)

Bei gleichen Vektoren:

\(\vec a \cdot \vec a=|\vec a |\cdot|\vec a| \cdot\cos0^\circ=|\vec a |\cdot|\vec a|\)

Also:

\((\vec a)^2 = |\vec a|^2\)

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Das ist mir wirklich neu. Danke! Werde das ganze dann nochmal probieren jetzt!

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Welches Vorwissen hast du denn? Ohne das zu wissen, kann man ja nur raten.

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Ich kannte das mit dem Betrag und dem eingeschlossenen Winkel überhaupt nicht. Das ist mir jetzt aber schlüssig. Alle meine anderen Versuche zeugen wohl nur von absoluter Verwirrung :D

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Dann haben sich meine Kommentare ja gelohnt.

Schön, das du etwas dazugelernt hast.

☺

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Fehlen dann nicht aber am Ende die Betragsstriche bei den beiden Vektoren? Also 2|a||b|cos?

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Stimmt. Das werde ich gleich berichtigen.

:-)

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Sehr gut! Dann habe ich es also verstanden :D Man man man so viel Verwirrung und Zeit für ein doch eigentlich einfaches Problem... Vielen Dank nochmal und eine gute Nacht!

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Gute Nacht.

:-)

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Bis zur nächsten Frage :D