Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Variable p freistellen

Question

Ein Vater legt zum 9. Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem 23. Geburtstag ein Startkapital in Höhe von 490000 GE zu sichern. 4 Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf 8.20% herab und der Vater muss 33888.04 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

a. Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
b. Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?



und dies wär mein Rechenweg bei a)

x*(1+p) 14 = 490 000

(x*(1+p)^4 + 33888,04) * (1+0.082)^10=


wo ich nicht ganz weiß wie ich auf p komme bzw wie ich p freistellen kann .. :-S stimmt mein Rechenweg überhaupt


DANKE

Glg,

Annemarie

Comments

Das ist kein Gleichungssystem, weil da nur eine Gleichung steht.

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Solche Aufgaben findest zuhauf im Forum.

vgl:

https://www.mathelounge.de/710994/zinssatz-und-einzahlung-nach-x-jahren

Answer 1

x*(1+p) ¹⁴ = 490 000   ==>    x = 490000/(1+p)¹⁴ bei der 2. einsetzen
(x*(1+p)⁴ + 33888,04) * (1+0.082) ¹⁰=490 000

Bei der 2. Gleichung fehlt wohl was ?

Vermutlich auch 490 000. Gibt dann

(x*(1+p)⁴ + 33888,04) * (1+0.082) ¹⁰=490 000

==>   x*(1+p)⁴ + 33888,04=222804,25

==>  x*(1+p)⁴ =188916,21

Jetzt einsetzen

==>  490000/(1+p)¹⁴ *(1+p)⁴ =188916,21

==>   490000/(1+p)¹⁰   =188916,21

==>    490000/188916,21 =  (1+p)¹⁰

==>     2,594 =(1+p)¹⁰

==>    1,10 = 1+p

==>  p=10%

Comments

Also das ist die Aufgabe dazu:

Ein Vater legt zum 9. Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem 23. Geburtstag ein Startkapital in Höhe von 490000 GE zu sichern. 4 Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf 8.20% herab und der Vater muss 33888.04 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

a. Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
b. Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?

und dies war mein Rechenweg bei a)

x*(1+p) 14 = 490 000

(x*(1+p)^4 + 33888,04) * (1+0.082) ^10=

wo ich nicht ganz weiß wie ich auf p komme .. :-S

DANKE

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SUPER danke :-)

wenn ich das p dann einsetzte würde ich für das x= 129032.26 bekommen stimmt das ?

Danke

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Ich bekomme:

490000 / (1.1) ¹⁴ = 490000/3,7975 = 129032

Answer 2

Hallo,

(1)

x*(1+p)^{14} = 490 000

--> x=490 000*(1+p)^{-14}

(2)

(x*(1+p)^4 + 33888,04) * 1.082^{10}=490 000

(1) in (2):

(490 000*(1+p)^{-10}+ 33888,04) * 1.082^{10}=490 000

490000*(1+p)^{-10}=490000* 1.082^{-10}-33888.04

\( \frac{490000}{(1+p)^{10}}=188916 \)

\( \frac{490000}{188916}=(1+p)^{10} \)

\(p=\sqrt[10]{ \frac{490000}{188916}} -1\approx0.10=10\% \)

 :-)

Comments

DAANKE :-)


wenn ich dann für p (0.10) dann einsetzte würde ich für das x= 129032.26 bekommen stimmt das ?
Danke

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Ich habe fast den gleichen Betrag, aber 31ct statt 26ct. Da sind wohl 5 Cent verloren gegangen.

:-)