Aloha :)
Der Umsatz folgt der Funktion:$$f(t)=t^3-21t^2+120t+200$$
zu (1) Der Umsatz steigt, wenn die Ableitung dieser Funktion positiv ist und er fällt, wenn die Ableitung dieser Funktion negativ ist. Also brauchen wir die Ableitung:$$f'(t)=3t^2-42t+120=3(t^2-14+40)=3(t-4)(t-10)$$Der Umsatz steigt, wenn beide Faktoren \((t-4)\) und \((t-10)\) dasselbe Vorzeichen haben. Für \(t<4\) sind beide Faktoren negativ und für \(t>10\) sind beide Faktoren positiv.
Der Umsatz steigt also für \(t<4\) oder \(t>10\).
Der Umsatz fällt für \(4<t<10\).
zu (2) Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(t=4\) und \(t=10\). Da der Umsatz für \(t<4\) steigt und für \(t>4\) fällt, liegt bei \(t=4\) ein Maximum des Umsatzes vor. Für \(t<10\) sinkt der Umsatz und für \(t>10\) steigt der Umsatz, also liegt bei \(t=10\) ein Minimum des Umsatzes vor. Die Funktionswerte an diesen Stellen geben den größten und den kleinsten Umsatz an:$$f(4)=406\quad\text{(Maximum)}\quad;\quad f(10)=300\quad\text{(Minimum)}$$
~plot~ x^3-21x^2+120x+200 ; {4|406} ; {10|300} ; [[0|13|0|500]] ~plot~
