Bereiche, auf denen Funktionen monoton fallen und konvex bzw. konkav sind?

Question

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Bereiche, auf denen sie monoton fallen bzw.
steigen und konvex bzw. konkav sind. Bestimmen Sie außerdem die Wendepunkte.
(a) f : R → R mit f(x) = sin(x)
(b) g : R → R mit g(x) = x³ + 3x² + 3x -7

Answer 1

a.) f ( x ) = sin(x)

Die sin - Funktion sollte man jederzeit skizzieren
können. Hier lassen sich alle Antworten (
Wendepunkte, konvex, konkav, Nullstellen,
Extrempunkte ) ablesen.

Auch die cos Funktion sollte man zeichnen
können.

Comments

g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x -7
1.Ableitung
g ´( x ) = 3*x^2 + 6*x + 3
Steigend : 1.Ableitung positiv
3*x^2 + 6*x + 3 > 0
x^2  + 2x + 1.5 > 0
x^2 + 2x + 1^2 > -1.5 + 1
( x +1 ) ^2 > -1.5 + 1
( x +1 ) ^2 > - 0.5
Ein Ausdruck im Quadrat ist stets > oder = null.
Die Aussage ist stets wahr.

Wendepunkt 2.Ableitung = 0
g ´´ ( x ) = 6*x + 6
6*x + 6 = 0
x = -1
Der Wendepunkt ist zudem ein Sattelpunkt.

Rechtskrümmung :
6*x + 6 < 0
x + 1 < 0
x < -1
Linkskrümmung : x > -1

Answer 2

du musst die Extrema bestimmen, um zu wissen, wo die Funktionen monoton fallen, bzw. steigen. Das machst du mit der ersten Ableitung. Mit der zweiten Ableitung überprüfst du, ob es Hoch -oder Tiefpunkte sind. Konvex heißt, dass die Funktion eine Linkskrümmung hat und konkav, wenn sie eine Rechtskrümmung hat. Das findest du mit der zweiten Ableitung durch berechnen der Nullstellen raus. Denn damit hast du alle Wendepunkte. Jetzt schaust du, ob diese jeweils ein Links-Rechtswendepunkt oder ein Recht-Linkswendepunkt sind. Daraus erkennt man, ob die Funktion dann konvex bzw. konkav ist.