Bestimme f(x) = 1/(1+x^2) maximale Intervalle auf denen f konvex / konkav ist.

Question

$$ ƒ :ℝ → ℝ , \quad x↦\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$ maximale Intervalle, auf denen ƒ konvex bzw. konkav ist.

Nutzen Sie folgenen Satz:

Satz: Sei ƒ : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion, die auf (a, b) zweimal differenzierbar ist. Die Funktion ƒ ist konvex genau dann, wenn f′′(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b) ist.

Comments

Hast du dir denn schon die 2. Ableitung angeschaut?

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Ja, aber ich hatte das mit dem x ∈ (a, b) nicht ganz verstanden.

Answer 1

f(x) = 1/(1+x^2)

f ' (x) = -2x / ( 1 +x^2)

f ''(x)  = (-2+6 x^2)/(1+x^2)^3

Nenner sowieso ≥ 0

Zähler sollte für konvex auch noch ≥0 sein.

-2 + 6x^2 ≥ 0

6x^2 ≥ 2

x^2 ≥ 1/3

x ≥ √(1/3) oder x≤-√(1/3)

konvex ist f über den Intervallen: I1 = (-unendlich, -√(1/3) ) und I2 = ( √(1/3) , unendlich)

konkav ist f über dem Intervall: I3 = (-√(1/3), √(1/3) )

Answer 2

mit der 2. Ableitung.
konvex heißt 2.Abl. positiv
konkav heißt 2. Abl. negativ
2. Abl. ist hier

f ' '(x) = (6x^2 - 2) / (x^2+1)^3

Nenner ist immer positiv.
Zähler ist positiv für x>wurezl(1/3) oder für x<-wurzel(1/3)

also konvex von -unendlich bis -wurzel(1/3)
und von wurzel(1/3) bis unendlich.

Dazwischen konkav.

Comments

kannst du sagen wie du auf die 2. ableitung kommst

ich kriege da immer was anderes raus

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f ' (x) = -2x / (x^2+1)^2

f ' ' (x) = ( (x^2+1)^2 *(-2) - (-2x)*2*(x^2+1)^2 * 2x  ) / (x^2+1)^4

jetzt (x^2+1) ausklammern und damit kürzen.

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Entschuldigung, aber wie konnest du mir am 23.12 antworten, wenn ich die Frage am 27.12 gestellt habe? ;)

Sonst hätte ich mich bedankt. =)

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Kein Problem, verstehe ich auch nicht.

Answer 3

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ \Rightarrow f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} \\ \Rightarrow f''(x)=\frac{-2(1+x^2)^2+2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4}=\frac{-2(1+x^2)^2+8x^2(1+x^2) }{(1+x^2)^4}=\frac{-2(1+2x^2+x^4)+8x^2+8x^4 }{(1+x^2)^4}=\frac{-1-4x^2-2x^4+8x^2+8x^4 }{(1+x^2)^4} \\ \Rightarrow f''(x)=\frac{6x^4+4x^2-1 }{(1+x^2)^4}$$

Für welche x gilt es $$f''(x) \geq 0$$ und für welche $$f''(x) \leq 0$$ ?

Comments

Du kannst bei der 2. Ableitung im Zähler des ersten Quotienten schon (1+x^2) ausklammern und kürzen.

Daher komme ich im Nenner auf (1+x^2)^3 und der Zähler ist wesentlich einfacher.