" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "
Du siehstr doch, dass du dich in deinen subjektiven Strategien verhedderst - was sollte man wann tun? Dagegen ich habe als erster vorgeschlagen: Gehe direkt über
1) den Eulersatz
2) den binomischen Lehrsatz
( Kenntnisse der Additionsteoreme werden total überflüssig. )
Ganz dumm. Nur elementare Umformungen.
a := exp ( + i x ) ( 1a )
b := exp ( - i x ) ( 1b )
a = cos ( x ) + i sin ( x ) ( 2a )
b = cos ( x ) - i sin ( x ) ( 2b )
Beachte insbesondere die sich aus ( 1ab ) ergebende Identität
a b = 1 ( 3 )
( 2ab ) bilden ein LGS , das du rein formal juristisch nach den beiden Unbekannten Sinus und Kosinus umstellen kannst:
sin ( x ) = ( 1/ 2 i ) ( a - b ) ( 4a )
und jetzt ( 4a ) in die 3. Potenz erheben - binomischer Satz wie gesagt. Von mir stammt auch jene Strategie: Du musst die Summe natürlich umordnen, damit immer komplex konjugierte Pärchen aus a und b nebeneinander stehen; schließlich soll ja hinterher was Reelles raus kommen. Beachte insbesondere ( 3 )
sin ³ ( x ) = - ( 1 / 8 i ) [ a ³ - b ³ - 3 ( a - b ) ] = ( 4b )
= 1/4 [ 3 sin ( x ) - sin ( 3 x ) ] ( 4c )
sin ( 3 x ) = 3 sin ( x ) - 4 sin ³ ( x ) ( 4d )
Du kannst es auch umgekehrt lesen - als Fourierzerlegung der Sinuspotenz .
