Welche Formeln für sin(2α) und cos(2α) ergeben sich aus den Additionstheoremen? cos(3α)?

Question

a) Welche Formeln für sin(2α) und cos(2α) ergeben sich aus den Additionstheoremen?

b) Berechne sin(2α) für sin(α)=0,96.

c) Berechne cos(2α) für cosα=5/13.

d) Drücke (mit Hilfe der Additionstheoreme) cos(3α) durch cosα aus.

Comments

Ein Teil von a) cos(2a) vgl. hier: https://www.mathelounge.de/71140/warum-ist-sin²x-cos²x-cos-2x

Answer 1

SIN(2·α)
= SIN(α + α)
= SIN(α)·COS(α) + COS(α)·SIN(α)
= 2·SIN(α)·COS(α)

COS(2·α)
= COS(α + α)
= COS(α)·COS(α) - SIN(α)·SIN(α) 
= COS(α)^2 - SIN(α)^2
= COS(α)^2 - (1 - COS(α)^2)
= 2·COS(α)^2 - 1

Berechnen kannst du sicher selber oder?

COS(3·α) 
= COS(2·α + α)
= COS(2·α)·COS(α) - SIN(2·α)·SIN(α)
= (2·COS(α)^2 - 1)·COS(α) - (2·SIN(α)·COS(α))·SIN(α)
= 2·COS(α)^3 - COS(α) - 2·SIN(α)^2·COS(α)
= 2·COS(α)^3 - COS(α) - 2·(1 - COS(α)^2)·COS(α)
= 2·COS(α)^3 - COS(α) - (2·COS(α) - 2·COS(α)^3)
= 2·COS(α)^3 - COS(α) - 2·COS(α) + 2·COS(α)^3
= 4·COS(α)^3 - 3·COS(α)