sinus cosinus umformen mittels Additionstheoremen und Lösungsweg

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie nun $$U_L(t)$$ für den Bereich $$\omega t > \pi$$

Lösungsweg:

(1)$$U_{L2}(t)  = \frac{I_0 R}{2} (-e^{-\frac{t-T/2}{T}} + \cos{(\omega (t - T/2))} $$

mit $$t \ge T/2$$

Soll raus kommen:

(2)$$U_{L2} = \frac{I_0 R}{2}(-e^{-\frac{t}{2}} \cdot e^{\frac{1}{2}} - \cos{(\omega t)} - \sin{(\omega t)})$$

(3)$$=>U_{L}(t > T/2) = \frac{I_0 R}{2}(-e^{-\frac{t}{T}} + \cos{(\omega t)} + \sin{(\omega t)} - e^{-\frac{t}{T}} \cdot \sqrt{e} - \cos{(\omega t)} - \sin{(\omega t)})$$

(4)$$U_L(t > T/2) = -\frac{I_0 R}{2} \cdot e^{-\frac{t}{T}} \cdot(1 + \sqrt{e})$$

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist, wie man von der ersten Zeile vom Lösungsweg mit:

$$\cos{(\omega (t - \frac{T}{2}))}$$

auf die Zeile (2) kommt mit:

$$\cos{(\omega t)}$$

Also wie kommt man von der Zeile (1) auf die Zeile (2) ?

Ich dachte da an das Additionstheorem aber wenn ich das mache hebt sich bei mir nichts auf also mit jeweils

$$\cos{(\omega t \pm \omega T/2)} = \cos{(\omega t)} \cos{(\omega T/2)} + \sin{(\omega t)} \sin{(\omega T/2)}$$

und

$$\sin{(\omega t \pm \omega T/2)} = \sin{(\omega t)} \cos{(\omega T/2)} - \cos{(\omega t) \sin{(\omega T/2)}}$$

Komme da aber auch nicht von (1) auf (2)

Hoffe das mir viele dabei helfen können, was hier gemacht wurde um von Schritt (1) auf Schritt (2) und Schritt (3) bzw. noch auf Schritt 4 zu kommen und vielen Dank schon mal im voraus.

Answer 1

Aloha :)

Du hast übersehen, dass \(T\) die Periodendauer ist, das heißt: \(\omega T=2\pi\):$$\cos\left(\omega t\pm\omega T/2\right)=\cos(\omega t\pm \pi)=\cos\omega t\cdot\cos\pi\mp\sin\omega t\,\sin\pi=-\cos\omega t$$

Comments

Ok das habe ich denke ich verstanden.

Wie siehts mit Schritt (3) aus ?

Hast du da auch eine Idee ?