Mit Additionstheoremen Formeln beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fur alle α, β ∈ R gilt:

$$ \begin{aligned} \sin (\alpha) \cos (\beta) &=\frac{1}{2} \sin (\alpha-\beta)+\frac{1}{2} \sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha)+\sin (\beta) &=2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{aligned} $$

Problem/Ansatz:

Ich habe keinerlei Ideen wie ich diese Aufgabe angehen soll.. Bitte um Hilfestellung

Comments

Tipp:

Aussage 1) und Aussage 2) sind äquivalent.

Answer 1

Du sollst offenbar Additionstheoreme üben.

Setze sie rechts ein und vereinfache den resultierenden Term bis du bei sin(a)cos(b) landest. Das zu deiner ersten Teilaufgabe. 

Comments

Vielen Dank!,

nur jetzt verstehe ich nicht wie ich das richtig einsetze.. :(

mein Ansatz für den oberen Teil wäre :

1/2 sin(a) + 1/2sin(-b)+1/2sin(a)+1/2sin(b)

richtig ?

Für unten habe ich noch keine idee..

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Additionstheoreme sind

sin(α-β)= ( sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β) )

sin(α+β)=( sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) )

Diese sollst du rechts einsetzen und die zusätzlichen Klammern, die ich hier schon ergänzt habe, korrekt mitschleppen / auflösen.

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2. Aufgabe:

Tipp: Substituiere: u = (a+b)/2, v = (a-b)/2

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Bin jetzt nach den Feiertagen nochmal ganz inruhe an die Aufgabe dran gegangen. 

Mein Lösungsweg wäre jetzt für die 2. Aufgabe:

sin(a)+sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

u = (a+b)/2
v = (a-b)/2

Jetzt einsetzen: 
2*sin(u)*cos(v) = sin(u+v)+sin(u-v)
2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)  = sin((a+b)/2 + (a-b)/2) + sin((a+b)/2 - (a-b)/2)

                                             (Die rechte Seite ausrechnen!)
 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2) = sin(a) + sin(b) 

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Sieht doch passend aus.

Du solltest noch anschreiben, was die Behauptung ist und wo der Beweis beginnt und an welcher Stelle er fertig ist. Zudem anschreiben, wo du genau die Formel aus (1) verwendest. Auch "ausrechnen" solltest du genauer hinschreiben. D.h. die Bruchaddition / -subtraktion in den Argumenten des sinus vorführen.

Mein Lösungsweg wäre jetzt für die 2. Aufgabe:

Behauptung:

sin(a)+sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

usw.

Answer 2

sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

BeideSeiten addieren

sin(α-β )+sin(α+β)=2·sin(α)cos(β)

Dividieren durch 2

1/2·sin(α-β )+1/2·sin(α+β)=sin(α)cos(β)