Laplace Transformation. → Berücksichtigen sie die Angabe des Konvergenzbereiches!

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Laplace Transformierte des Signals.

Berücksichtigen sie die Angabe des Konvergenzbereiches.

\( x(t)=(5+\exp (-3 t)) \epsilon(t), \quad \epsilon(t)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { für } t \geq 0} \\ {0} & {\text { für } t<0}\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Rechnerisch kann ich die Aufgabe lösen.

Ich verstehe aber nicht was mit dem Konvergenzbereich gemein ist?

Ist jemand damit vertraut? .

Answer 1

die Laplace-Transformierte ist allgemein für eine Zufallsvariable \(X\) definiert als \(m_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}] \in [0,\infty) \forall t \in \mathbb{R} \).

Also

\(m_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=\int\limits_{\mathbb{R}}^{}e^{ty} f_X(y) dy = \int\limits_{\mathbb{R}}^{}\chi_{y \in [0,\infty)}e^{ty} (5+e^{-3y})dy\)

Dieses Integral darfst du nun berechnen und dann hast du deine Laplace-Transformierte.

Comments

in der Lösung ist so eine Skizze und die Anmerkung, δ = 0

Kannst du mir es vll nochmal "einfach" erläutern`? Bin nicht gut in Mathe..