Aufgabe 5.1 In der Veranstaltung hatten wir den Satz 4.7 in der schwachen Form: R ist
symmetrisch genau dann, wenn R−1 ⊆ R. Dies können Sie hier als gegeben voraussetzen.
Beweisen Sie die strengere Fassung des Satzes 4.7: R ist symmetrisch genau dann, wenn
R−1 = R.
(Hinweis: Sie können dabei Satz 4.6 nutzen.)
Aufgabe 5.2 Sei m ∈ N
+. Definiere: Rm := {(a, b) ∈ Z × Z | m|(a − b)}. In Worten: Zwei
ganze Zahlen sind in Relation Rm, wenn sie bzgl. der ganzzahligen Division durch m den
gleichen Rest besitzen.
Beweisen Sie, dass Rm für jedes m ∈ N
+ eine Äquivalenz ist.
Aufgabe 5.3 Seien R1 und R2 jeweils Äquivalenzrelationen über der nicht-leeren Menge A.
Zeige oder widerlege: R1 ∩ R2 ist auch eine Äquivalenzrelation.
Aufgabe 5.4 Seien R1 und R2 jeweils Äquivalenzrelationen über der nicht-leeren Menge A.
Zeige oder widerlege: Sei R1 ⊆ R2, dann gilt für jedes a ∈ A auch [a]R1 ⊆ [a]R2
