Relationen und deren Eigenschaften - Grundlegende Verständnisprobleme beim Bearbeiten der Aufgaben

Question

Aufgabe:
Zeige oder widerlege: Es handelt sich um eine Äquivalenzrelation:

$$ M = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}, a\text{R}b \Leftrightarrow a = b \text{ oder } a + b = 7 $$

Problem/Ansatz:
Es ist mir fast peinlich zu fragen, aber ich habe jetzt zig Videos durchgearbeitet und Online Quellen nachgeschaut, aber ich bekomme den Knoten in meinem Kopf zu Relationen nicht gelöst.

Ich kenne die Definitionen von Äquivalenzrelationen und den Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität.

Die Notation verstehe ich auch nicht so ganz. Mal Stück für Stück:

Ich habe eine Menge M mit den Zahlen 1 - 6, so weit so gut.
aRb soll offensichtlich aussagen, dass a Relational zu b ist, aber warum steht das da? Keine Ahnung.

Alles was rechts von den Pfeilen steht, keine Ahnung wie das mit der Relation in Zusammenhang steht.
Es sind offenbar zwei Formeln, einmal a = b und einmal a + b = 7.

Ich versuche mal, meine wirren Gedanken zusammenzufassen:

Wie weise ich jetzt Reflexivität nach? Keine Ahnung, hat es was mit diesen beiden Formeln zu tun?
Was soll ich da machen, Werte aus der Menge einsetzen? Ergibt keinen Sinn.
Für z.B. a = 1 und b = 2 erhalte ich nicht a = b. Die selben Werte in der anderen Formel ergeben nicht a + b = 7.
--> Mir fehlt komplett grundlegend der Gedanke, was ich jetzt tun soll und wie die verschiedenen Abschnitte des o.g. Ausdrucks in Verbindung stehen.

Symmetrie? Dasselbe Problem. Da kann ich mir allerdings grundlegend was überlegen, nämlich wenn ich einen passenden Wert jeweils für a und b gefunden habe, sodass a + b = 7 ergibt, ergibt auch b + a = 7. Allerdings nicht für jede Kombination a oder b aus M, wie gerade schon bei der Reflexivität festgestellt.

Bei Transitivät steigt mein Gehirn völlig aus, da kann ich mir gar nichts mehr zu aus den Fingern saugen.

Ich hoffe, ihr versteht: Absolutes Grundsatzproblem mit diesem Aufgabentyp.

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand das Thema Relationen und Eigenschaften mal verständlich und Schritt für Schritt erklären könnte und worauf ich bei jedem Schritt zu achten habe.

Answer 1

Mir scheint Dir fehlt die Kenntnis der grundlegenden Schreib- und Sprechweisen.

Hier steht: \(aRb :\iff (a=b \text{ oder } a+b=7)\).

Ich habe den Doppelpunkt ergänzt, der steht für "ist per Def. äquivalent zu".

\(aRb\) heißt \(a\) steht in Relation zu \(b\).

Rechts vom \(\iff\) steht eine Aussage (genauer: Aussageform), die die Def. dieser Relation angibt.

Prüfe nun erstmal "reflexiv": Gilt für alle \(x\in M\), dass \(xRx\) erfüllt ist?

Comments

Danke dir schon mal für deine Antwort.
Tatsächlich habe ich den Ausdruck für die Aufgabe, so wie er da steht, aus einem Video welches sich damit beschäftigt. Dann hat der Autor dort auch schon einen Fehler drin, trotzdem weiß ich jedoch bescheid für die Zukunft.

Zur Prüfung der Reflexivität:
In diesem Video ist der Beweis lediglich dieser Satz:
$$ \text{für alle }a \in M\text{ gilt: }aRa \text{, denn: a=a} $$

Mehr nicht. Das hilft mir leider genau nullkommanull weiter, weil ich gar nicht verstehe, was da jetzt geprüft wurde bzw. wie es zu dieser Aussage kommt.
Leider ist das besagte Video das einzige, welches mal in halbwegs verständlichem deutsch entsprechende Aufgaben erklärt, bei allen anderen verstehe ich noch weniger.

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Du brauchst kein Video, Du musst aber die Schreibweisen lesen können (s.o.). Das mit dem Doppelpunkt wird manchmal etwas salopp behandelt.

Was xRx bedeutet, ist in der Aufgabe definiert (durch die dahinter stehende Aussage). Prüfe also, ob diese Aussage war ist, wenn man a=b=x einsetzt. Schreib die Aussage hin und lies sie Dir laut vor.

Answer 2

Die Relation R teilt die Menge M in die Klassen {1,6}, {2,5}, {3,4} ein. Für jedes Paar (a,b) von Elementen aus einer dieser Klassen gilt:  a = b \text{ oder } a + b = 7 \).

reflexiv wegen a=b

kommutativ weil '+' kommutativ ist.

Für das zeigen von Transitivität muss ein Element doppelt oder dreifach genannt werden:

aRbRa, bRaRa, bRbRa, aRaRb, aRaRa, bRbRb.

Comments

Ich danke dir für deine Antwort.
Dann verstehe ich schon mal, dass der Ausdruck $$ a + b = 7 $$

Die Menge M in Paare aufteilt, die automatisch 7 ergeben, also wie du schon sagtest {1,6}, {2,5}, {3,4}, {4,3}, {5,2}, {6,1}.

Nun frage ich mich, wie passt das mit dem anderen Ausdruck $$ a = b $$ zusammen? Wenn ich, wie im ersten Paar, a = 1 und b = 6 habe, dann kann a ≠ b sein. Demzufolge kann auch kein einziges Paar Reflexiv sein, da kein gültiges Paar zwei mal dieselbe Zahl haben kann (ich weiß, das ist falsch, aber so ist meine Denke im Moment).

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Da steht ja auch ein "oder". Dass diese Antwort mehr Verwirrung stiftet, wenn schon das Grundverständnis fehlt, ist zu erwarten. Zwei Elemente stehen also in Relation, wenn sie gleich sind oder deren Summe 7 ergibt. Damit ist die Reflexivität trivial.