Warum ist die folgende Relation transitiv? R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c)}

Question

Aufgabe:

Warum ist die folgende Relation transitiv?:

R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c)}

Problem/Ansatz:

Dafür müsste es doch (b,c) oder (a,c) geben damit, die „Dreieckbedingung“ gilt oder?

Comments

Wer sagt, dass R nicht transitiv ist? Hast du die Frage richtig und vollständig hingeschrieben?

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Ja, also das war die Frage:

Gegeben sind die Menge A = {a, b, c} und die Relation R = {(a, a), (a, b),
(b, a),(b, b),(c, c)}. Ist R reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch
oder transitiv?

Und das die Lösung:

IA ⊆ R, daher reflexiv.
• R = R−1, daher symmetrisch.
• R ∩ R−1 ⊆ IA, daher nicht antisymmetrisch.
• R ∩ R−1 ⊆ {}, daher nicht asymmetrisch.
• R ◦ R = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c)} ⊆ R, daher transitiv

Also in den Lösungen steht das es transitiv ist aber ich verstehe es nicht so ganz

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Gut. Dann berichtige ich mal die Fragestellung. Schau in ein paar Minuten, ob ich deine Frage nun richtig verstehe.

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Oder ich habe vielleicht nicht ganz verstanden was transitiv ist, aber meine Lehrerin meinte das es (b,c) und (a,c) geben muss, damit es transitiv ist, glaube ich.

Answer 1

Kannst du R aufzeichnen? Der Graph einer transitiven Relation kann wie das Sternzeichen "Grosser Wagen" mit verkürzter Deichsel aussehen.

Hier: Quadrat plus ein Punkt (c|c).

R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c)} ,

Transitivität funktioniert wie Dominosteine. An (a,a) kann man (a,b) anhängen und hat dann insgesamt (a,b). Dieser Stein ist vorhanden. Somit ist das gut so.

(c,c) ist ein Dominostein, der nirgends angehängt werden kann, daher ist (a,c) und (b,c) nicht nötig.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, aber ich weiß noch nicht genau, wie du das meinst. Kann man das auch irgendwie noch anders erkennen?

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Halte dich stur an die Definition, wenn Domino nicht dein Spiel ist.

Transitiv heisst: Wenn (x,y) und (y,z) zu R gehören, dann gehört auch (x,z) zu R. über ein allfälliges w ist nichts gesagt.

Vgl. auch Rubrik "ähnliche Fragen".

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Ah okay vielen Dank. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe. Es heißt ja nur „wenn“ (x,y) und (y,z), aber das muss ja nicht sein, damit es transitiv ist. Also es ist nur dann nicht transitiv wenn es nur (x,z) und (y,z) gibt. In allen anderen Fällen ist es transitiv oder?

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Du meinst, dass eine andere Relation: R1={(a, c),(b, c)} transitiv ist?

Ja. Das ist so.

Aber als Begriff "transitive Relation" nicht speziell interessant, wie auch ein Dominospiel mit bloss zwei Steinen nicht speziell spannend ist. Dominosteine dürfte man (unbemerkt) sogar umdrehen. Das ist bei Elementen von einem R nicht gestattet.