Hallo,
wenn du die Funktionsschar skizzierst, siehst du, dass die Intervallgrenzen bei x = 0 und der Nullstelle der Funktion liegen.
Berechne zunächst die Nullstelle:
\( \begin{aligned} x^{3}-c &=0 \\ x^{3} &=c \\ x &=\sqrt[3]{c}=c^{\frac{1}{3}} \end{aligned} \)
Bilde die Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{4} x^4-cx\)
F(0) = 0, also berechnest du \(F(c^\frac{1}{3})=-9\).
-9, weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
\( \begin{aligned} F\left(c^{\frac{1}{3}}\right) &=\frac{1}{4}\left(c^{\frac{1}{3}}\right)^{4}-c \cdot c^{\frac{1}{3}} \\ &=\frac{1}{4} c^{\frac{4}{3}}-c^{\frac{4}{3}} \\ &=-\frac{3}{4} c^{\frac{4}{3}} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned}-\frac{3}{4} c^{\frac{4}{3}} &=-9 \\ c^{\frac{4}{3}} &=12 \\ \sqrt[3]{c^{4}} &=12 \\ c^{4} &=1728 \\ c &\approx6,45 \end{aligned} \)
Gruß, Silvia